آلة حساب الأس exponential للمصفوفات

الفئة: الجبر الخطي

- سبتمبر 19, 2025

| |

احسب الأس e^A لمصفوفة مربعة A. يتم تعريف الأس المصفوفي بواسطة سلسلة القوى: e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + ...

أبعاد المصفوفة

حجم المصفوفة:

مصفوفة الإدخال

خيارات الحساب

عدد الحدود:

القيم الأعلى تعطي نتائج أكثر دقة ولكن تستغرق وقتًا أطول للحساب.

المضاعف القياسي (t):

احسب e^tA حيث t هو هذه القيمة.

خيارات العرض

عدد الأرقام العشرية:

عرض خطوات الحساب

حول الأس المصفوفي

الأس المصفوفي e^A لمصفوفة مربعة A هو عملية أساسية في الجبر الخطي مع تطبيقات في حل أنظمة المعادلات التفاضلية، نظرية التحكم، ميكانيكا الكم، والعديد من المجالات الأخرى.

التعريف والخصائص

يتم تعريف الأس المصفوفي بواسطة السلسلة اللانهائية:

e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + A⁴/4! + ...

حيث I هي مصفوفة الهوية بنفس حجم A.

تشمل الخصائص الرئيسية للأس المصفوفي:

e⁰ = I (مصفوفة الهوية)
e^A+B = e^Ae^B إذا وفقط إذا كان AB = BA
e^A دائمًا قابل للعكس، و(e^A)^-1 = e^-A
إذا كانت A قابلة للتشخيص كـ A = PDP^-1، فإن e^A = Pe^DP^-1
det(e^A) = e^tr(A)

طرق الحساب

توجد عدة طرق لحساب الأس المصفوفي:

طريقة سلسلة القوى: حساب مباشر باستخدام تعريف السلسلة اللانهائية
طريقة القيم الذاتية: للمصفوفات القابلة للتشخيص، باستخدام A = PDP^-1 لحساب e^A = Pe^DP^-1
تقريب باديه: تقريب كسري غالبًا ما يتقارب أسرع من سلسلة القوى
التقليص والتربيع: استغلال الخاصية التي تقول أن e^A = (e^A/m)^m

تستخدم هذه الآلة الحاسبة طريقة سلسلة القوى مع عدد محدد من الحدود.

التطبيقات

تستخدم الأس المصفوفية في:

حل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية
نظرية التحكم وتحليل الأنظمة
ميكانيكا الكم (مشغلات التطور الأحادي)
عمليات ماركوف المستمرة الزمن
تحليل الشبكات (مثل مقاييس المركزية)
نظرية مجموعات لي

فهم آلة حساب الأس الأسي للمصفوفات

ما هو الأس الأسي للمصفوفة؟

الأس الأسي للمصفوفة، الذي يُرمز له بـ \( e^A \)، هو دالة رياضية تُستخدم في مجالات مختلفة مثل المعادلات التفاضلية، والميكانيكا الكمومية، ونظرية التحكم. إنه يوسع مفهوم الدالة الأسية ليشمل المصفوفات المربعة، مما يوفر حلولًا لأنظمة المعادلات التفاضلية الخطية وتطبيقات في المحاكاة الحاسوبية.

كيف تعمل الآلة الحاسبة؟

تقوم هذه الأداة بحساب الأس الأسي لمصفوفة مربعة باستخدام توسيع سلسلة تايلور. من خلال أخذ مصفوفة \( A \)، تقوم الآلة الحاسبة بتقييم \( e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots \)، حيث \( I \) هي مصفوفة الهوية، وتُقسم القوى المتعاقبة لـ \( A \) على العامل المناسب. تتقارب هذه السلسلة لتوفير تمثيل دقيق للأس الأسي للمصفوفة.

لماذا استخدام آلة حساب الأس الأسي للمصفوفات؟

حل سريع للأس الأسي لمصفوفة دون حسابات يدوية.
يدعم المصفوفات ذات الرتبة الأعلى (2×2، 3×3، 4×4).
يوفر حسابات خطوة بخطوة لتعزيز الفهم.
مفيد لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية بكفاءة.

كيفية استخدام آلة حساب الأس الأسي للمصفوفات

اختر حجم المصفوفة (2×2، 3×3، أو 4×4).
أدخل عناصر المصفوفة الخاصة بك في الشبكة المقدمة.
انقر على زر احسب الأس الأسي لحساب النتيجة.
راجع النتيجة وحسابات الخطوة بخطوة المعروضة أدناه.
للبدء من جديد، انقر على زر مسح الكل.

الميزات الرئيسية للآلة الحاسبة

حساب خطوة بخطوة للشفافية.
يتعامل مع مصفوفات الهوية كافتراضات لتبسيط الأمور.
تصميم متجاوب للاستخدام على أجهزة الكمبيوتر المكتبية والأجهزة المحمولة.
يعرض النتائج باستخدام MathJax لتمثيل رياضي واضح.

الأسئلة الشائعة

ما هو استخدام الأس الأسي للمصفوفة؟: يُستخدم الأس الأسي للمصفوفة غالبًا لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية، وتحليل الاستقرار في أنظمة التحكم، ونمذجة الأنظمة الديناميكية.
ما هي قيود هذه الآلة الحاسبة؟: تقوم هذه الأداة بحساب الأس الأسي للمصفوفات باستخدام تقريب سلسلة تايلور حتى 10 حدود، مما قد يُدخل بعض الأخطاء الطفيفة لبعض المصفوفات ذات المدخلات الكبيرة.
هل يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل مع المصفوفات غير المربعة؟: لا، الأس الأسي للمصفوفة مُعرف فقط للمصفوفات المربعة. تأكد من أن مصفوفة الإدخال الخاصة بك تحتوي على عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة.
ما هو الحد الأقصى لحجم المصفوفة المدعوم؟: تدعم هذه الآلة الحاسبة المصفوفات حتى حجم 4×4. قد تتطلب المصفوفات الأكبر أدوات حسابية أكثر تقدمًا.

الخاتمة

آلة حساب الأس الأسي للمصفوفات هي أداة قوية لأي شخص يتعامل مع مشاكل رياضية متقدمة تتعلق بالمصفوفات المربعة. سواء كنت تحل المعادلات التفاضلية، أو نمذجة أنظمة معقدة، أو استكشاف مفاهيم الجبر الخطي، فإن هذه الآلة الحاسبة تبسط العملية، مما يوفر كل من النتائج والرؤى حول خطوات الحساب.