آلة حساب المعكوس الزائف

الفئة: الجبر الخطي
- يونيو 08, 2025
| |

تقوم هذه الآلة الحاسبة بحساب المعكوس الزائف لمصفوفة. المعكوس الزائف هو تعميم لمصفوفة المعكوس ويexists لأي مصفوفة، حتى غير المربعة. إنه مفيد بشكل خاص لحل مشاكل المربعات الصغرى وإيجاد حلول الحد الأدنى للنورم.

إدخال المصفوفة

خيارات العرض

فهم المعكوس الزائف

المعكوس الزائف لمور-بينروز هو تعميم لمصفوفة المعكوس التي توجد لأي مصفوفة، بما في ذلك المصفوفات المستطيلة (غير المربعة) والمصفوفات المفردة. يوفر وسيلة لحل الأنظمة الخطية عندما لا يوجد معكوس قياسي.

خصائص المعكوس الزائف

لمصفوفة A مع المعكوس الزائف A+:

  • A · A+ · A = A
  • A+ · A · A+ = A+
  • (A · A+)T = A · A+
  • (A+ · A)T = A+ · A
التطبيقات
  • حلول المربعات الصغرى: لنظام مفرط التحديد Ax = b (أكثر من معادلة من المجهولات)، x = A+b يعطي الحل الذي يقلل من ||Ax - b||2
  • حلول الحد الأدنى للنورم: لنظام غير محدد (أكثر من مجهولات من المعادلات)، x = A+b يعطي الحل بأقل نورم ||x||2
  • معالجة الصور: تستخدم في إعادة بناء الصور والضغط
  • تعلم الآلة: تستخدم في خوارزميات مثل تحليل المكونات الرئيسية (PCA)
  • معالجة الإشارات: تطبق في تصميم الفلاتر واستعادة الإشارات
طرق الحساب

يمكن حساب المعكوس الزائف باستخدام عدة طرق:

  1. تحليل القيمة المفردة (SVD): A = UΣVT، ثم A+ = VΣ+UT
  2. المعادلات العادية: للرتبة الكاملة للعمود، A+ = (ATA)-1AT
  3. تحليل QR: مفيد للأنظمة المفرطة التحديد
  4. طرق تكرارية: للمصفوفات الكبيرة جدًا

تستخدم هذه الآلة الحاسبة طريقة SVD، وهي الأكثر موثوقية وتعمل مع أي مصفوفة.

ما هو المعكوس الزائف؟

المعكوس الزائف، أو المعكوس الزائف لمور-بِنروز، هو تعميم للمعكوس المصفوفي الذي ينطبق على المصفوفات المستطيلة أو غير المربعة. بينما يتم تعريف المعكوس العادي فقط للمصفوفات المربعة، فإن المعكوس الزائف يسمح لنا بحساب الحلول لأنظمة المعادلات الخطية، حتى عندما يكون النظام مفرط التحديد (عدد المعادلات أكبر من عدد المجهولات) أو ناقص التحديد (عدد المجهولات أكبر من عدد المعادلات).

للمعكوس الزائف العديد من التطبيقات، بما في ذلك حل مشاكل المربعات الصغرى، خوارزميات التعلم الآلي، ومعالجة الإشارات. يتم تمثيله كـ \( A^+ \)، حيث \( A \) هي المصفوفة الأصلية.

حول آلة حاسبة المعكوس الزائف

تعد آلة حاسبة المعكوس الزائف أداة تفاعلية تحسب المعكوس الزائف لمصفوفة معينة. تدعم الآلة الحاسبة كل من المصفوفات المربعة والمستطيلة. بالإضافة إلى ذلك، توفر تفسيرات خطوة بخطوة لعملية الحساب، مما يجعلها أداة تعليمية رائعة.

الميزات الرئيسية

  • تعامل مع أي حجم مصفوفة: تدعم كل من المصفوفات المربعة والمستطيلة.
  • شرح خطوة بخطوة: توضح كل مرحلة من مراحل حساب المعكوس الزائف، بما في ذلك نقل المصفوفة، الضرب، والعكس.
  • مدخلات قابلة للتخصيص: يمكن للمستخدمين تحديد أبعاد المصفوفة والقيم لتتناسب مع مشكلتهم المحددة.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

اتبع هذه الخطوات لحساب المعكوس الزائف لمصفوفة:

  1. اختر عدد الصفوف والأعمدة لمصفوفتك باستخدام قوائم السحب.
  2. أدخل قيم المصفوفة في حقول الإدخال. تم ملء الحقول مسبقًا لراحتك.
  3. انقر على زر "احسب" لحساب المعكوس الزائف. ستظهر الخطوات والنتيجة النهائية أدناه.
  4. لإعادة تعيين الآلة الحاسبة، انقر على زر "مسح الكل".

فوائد الآلة الحاسبة

  • نتائج دقيقة: تحسب المعكوس الزائف تلقائيًا باستخدام طرق عددية موثوقة.
  • تعليمية: توفر خطوات مفصلة لمساعدة المستخدمين على التعلم وفهم حساب المعكوس الزائف.
  • توفير الوقت: تلغي الحاجة إلى الحسابات اليدوية، خاصة للمصفوفات الكبيرة.

أسئلة متكررة

ما الفرق بين المعكوس العادي والمعكوس الزائف؟

المعكوس العادي موجود فقط للمصفوفات المربعة غير المفردة، حيث يكون المحدد غير صفري. من ناحية أخرى، يمكن حساب المعكوس الزائف للمصفوفات المستطيلة أو المفردة وهو مفيد بشكل خاص في حل أنظمة المعادلات الخطية حيث لا يوجد المعكوس العادي.

هل يمكنني حساب المعكوس الزائف لمصفوفة مستطيلة؟

نعم، تدعم الآلة الحاسبة المصفوفات المستطيلة. يتم حساب المعكوس الزائف باستخدام الصيغة \( A^+ = (A^T A)^{-1} A^T \) للمصفوفات الطويلة أو \( A^+ = A^T (A A^T)^{-1} \) للمصفوفات العريضة.

ماذا يحدث إذا كانت مصفوفتى مفردة أو غير قابلة للعكس؟

إذا كانت المصفوفة \( A^T A \) أو \( A A^T \) مفردة (أي غير قابلة للعكس)، ستظهر الآلة الحاسبة رسالة خطأ، حيث لا يمكن حساب المعكوس الزائف في مثل هذه الحالات.

هل يمكن للآلة الحاسبة التعامل مع المدخلات العشرية أو الكسرية؟

نعم، تقبل الآلة الحاسبة كل من المدخلات العشرية والكسرية، مما يضمن حسابات دقيقة لجميع أنواع البيانات.

ابدأ باستخدام آلة حاسبة المعكوس الزائف

سواء كنت تحل المعادلات الخطية، أو تحلل البيانات، أو تتعلم عن عمليات المصفوفات، فإن هذه الآلة الحاسبة هي أداة قوية وسهلة الاستخدام. جربها الآن لحساب المعكوس الزائف بسهولة ودقة!