آلة حساب إسقاط المتجهات

الفئة: الجبر الخطي
- يوليو 24, 2025
| |

ما هو إسقاط المتجه؟

إسقاط المتجه هو عملية رياضية تقوم بإسقاط متجه واحد على آخر. النتيجة هي متجه جديد يقع على طول اتجاه المتجه الثاني. على سبيل المثال، إسقاط المتجه \( \mathbf{a} \) على المتجه \( \mathbf{b} \) يعطي مكون المتجه \( \mathbf{a} \) الذي يتماشى مع \( \mathbf{b} \).

الصيغة لإسقاط \( \mathbf{a} \) على \( \mathbf{b} \) هي:

\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\| \mathbf{b} \|^2} \mathbf{b} \]

حيث:

  • \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) هو حاصل ضرب النقطة بين \( \mathbf{a} \) و \( \mathbf{b} \).
  • \( \| \mathbf{b} \|^2 \) هو مقدار المتجه \( \mathbf{b} \) تربيعاً.

كيفية استخدام حاسبة إسقاط المتجه

تسهل الحاسبة عملية حساب إسقاط متجه واحد على آخر. اتبع هذه الخطوات:

  1. أدخل مكونات المتجه \( \mathbf{a} \) في حقل الإدخال "المتجه \( \mathbf{a} \)"، مفصولة بفواصل. على سبيل المثال: 3, 4, 0.
  2. أدخل مكونات المتجه \( \mathbf{b} \) في حقل الإدخال "المتجه \( \mathbf{b} \)"، مفصولة بفواصل. على سبيل المثال: 1, 2, 3.
  3. اضغط على زر "احسب" لحساب الإسقاط.
  4. ستظهر النتيجة المتجه المسقط مع حسابات خطوة بخطوة.
  5. استخدم زر "مسح" لإعادة تعيين حقول الإدخال والبدء من جديد.

الميزات

  • يدعم المتجهات من أي بعد، بشرط أن يكون لكلا المتجهين نفس عدد المكونات.
  • يعرض الحسابات الوسيطة، بما في ذلك حاصل الضرب النقطي والمقدار تربيعاً.
  • واجهة تفاعلية وسهلة الاستخدام.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

1. هل يمكنني استخدام هذه الحاسبة للمتجهات ثنائية الأبعاد؟

نعم، تعمل الحاسبة مع المتجهات من أي بعد، بما في ذلك المتجهات ثنائية الأبعاد مثل \( \mathbf{a} = \langle 3, 4 \rangle \).

2. ماذا يحدث إذا أدخلت متجه صفر؟

إذا كان المتجه \( \mathbf{b} \) متجه صفر (جميع المكونات تساوي 0)، فلا يمكن متابعة الحساب لأن القسمة على الصفر غير معرفة. ستنبهك الحاسبة لإدخال متجه صالح.

3. كيف تتعامل الحاسبة مع المدخلات غير الصالحة؟

تتحقق الحاسبة من جميع المدخلات للتأكد من صلاحيتها. إذا كانت أي مكون مفقود أو ليس رقمًا، ستظهر رسالة خطأ تطلب منك تصحيح إدخالك.

4. ما هو تنسيق الإخراج؟

تظهر النتيجة في شكل متجه، موضحة مكونات متجه الإسقاط. على سبيل المثال، قد يظهر الإسقاط كـ \( \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \langle 1.5, 2.0, 2.5 \rangle \).

5. هل يمكنني إسقاط متجه بأبعاد أعلى؟

نعم، طالما أن كلا المتجهين لهما نفس عدد الأبعاد، يمكن للحاسبة التعامل معهما بفعالية.

استخدم حاسبة إسقاط المتجهات لإسقاط المتجهات بسرعة ودقة، مما يبسط مهامك الرياضية ويحسن فهمك لعمليات المتجهات.