آلة حساب قوة المصفوفة

الفئة: الجبر الخطي

- يوليو 09, 2025

| |

احسب قوة مصفوفة مربعة. تمثل قوة المصفوفة Aⁿ المصفوفة A مضروبة في نفسها n مرات.

أبعاد المصفوفة

حجم المصفوفة:

إدخال المصفوفة

إدخال القوة

القوة (n):

خيارات العرض

عدد الأرقام العشرية:

الطريقة:

عرض خطوات الحساب

عرض جميع القوى الوسيطة

حول قوى المصفوفات

قوة المصفوفة المربعة A، التي يرمز لها بـ Aⁿ، هي نتيجة ضرب المصفوفة في نفسها n مرات.

التعريف

لمصفوفة مربعة A وعدد صحيح موجب n:

Aⁿ = A × A × ... × A (n مرات)

وفقًا للتقليد، A⁰ = I (مصفوفة الهوية)، و A¹ = A.

طرق الحساب

قياسي (تكراري): ضرب المصفوفة في نفسها n مرات مباشرة.
تحليل قطري: إذا كانت A يمكن تحليلها قطريًا كـ A = PDP^-1، فإن Aⁿ = PDⁿP^-1، حيث Dⁿ سهل الحساب (رفع كل عنصر قطري إلى القوة n).
الرفع الثنائي: احسب Aⁿ في O(log n) من ضربات المصفوفة باستخدام طريقة القسمة والتغلب.

خصائص قوى المصفوفات

(A^m)(Aⁿ) = A^m+n
(A^m)ⁿ = A^mn
إذا كانت A قطرية، فإن Aⁿ يتم الحصول عليها عن طريق رفع كل عنصر قطري إلى القوة n
إذا كانت A قابلة للتحليل القطري كـ A = PDP^-1، فإن Aⁿ = PDⁿP^-1
لمصفوفة 2×2، يوفر نظرية كايلي-هاميلتون صيغًا تكرارية لحساب القوى الأعلى

تطبيقات قوى المصفوفات

سلاسل ماركوف ومصفوفات الانتقال
نظرية الرسوم البيانية (البحث عن مسارات بطول n في رسم بياني)
علاقات التكرار والبرمجة الديناميكية
نماذج نمو السكان
رسوم الكمبيوتر (تحولات متكررة)

ما هو حاسبة قوة المصفوفة؟

قوة المصفوفة هي نتيجة ضرب مصفوفة مربعة بنفسها عددًا محددًا من المرات. على سبيل المثال، رفع مصفوفة \( A \) إلى القوة 2 يعني حساب \( A \times A \). تُستخدم هذه العملية بشكل شائع في التخصصات الرياضية مثل الجبر الخطي، والفيزياء، ورسوميات الكمبيوتر.

كيف تساعد هذه الحاسبة؟

تم تصميم حاسبة قوة المصفوفة لتبسيط عملية حساب قوة المصفوفات المربعة. من خلال إدخال مصفوفاتك والقوة المطلوبة، تقوم الحاسبة تلقائيًا بإجراء الحسابات خطوة بخطوة، وتقديم النتائج بتنسيق سهل الفهم باستخدام MathJax لزيادة الوضوح البصري.

الميزات الرئيسية

تدعم المصفوفات المربعة بأحجام 2×2، 3×3، و4×4.
تحسب قوى المصفوفة لأي عدد صحيح موجب.
توفر تفصيل خطوة بخطوة لكل عملية ضرب.
واجهة تفاعلية وسهلة الاستخدام مع قيم افتراضية مسبقة التعبئة.

كيفية استخدام الحاسبة

اختر حجم المصفوفة (2×2، 3×3، أو 4×4) من القائمة المنسدلة.
أدخل قيم مصفوفاتك المربعة في الشبكة المقدمة. تم تعيين القيم الافتراضية لتمثيل مصفوفة الهوية.
أدخل القوة المطلوبة (عدد صحيح موجب) في حقل الإدخال "القوة".
انقر على زر "احسب القوة" لرؤية النتيجة.
ستظهر المصفوفة المحسوبة وتفاصيل الخطوات أدناه الحاسبة.
إذا لزم الأمر، استخدم زر "مسح الكل" لإعادة تعيين المدخلات والبدء من جديد.

الأسئلة الشائعة

ما أنواع المصفوفات التي يمكن أن تتعامل معها هذه الحاسبة؟

تدعم الحاسبة المصفوفات المربعة بأحجام 2×2، 3×3، و4×4. المصفوفات غير المربعة غير متوافقة لحسابات القوة.

ماذا يحدث إذا أدخلت مدخلات غير صالحة؟

تتحقق الحاسبة من جميع المدخلات. إذا أدخلت قيمًا غير صالحة أو مفقودة، ستظهر رسالة خطأ تطلب منك تصحيح حقول الإدخال.

هل يمكن لهذه الحاسبة التعامل مع القوى الكسرية؟

لا، تم تصميم هذه الحاسبة لقوى الأعداد الصحيحة الموجبة فقط. للقوى الكسرية، يتطلب الأمر برامج متخصصة أو طرق متقدمة.

ماذا لو كانت القوة 1؟

إذا كانت القوة محددة على 1، ستكون النتيجة ببساطة هي مصفوفة الإدخال، حيث تبقى أي مصفوفة مرفوعة إلى القوة 1 دون تغيير.

فوائد استخدام هذه الأداة

توفير الوقت من خلال أتمتة الحسابات المتكررة.
القضاء على الأخطاء اليدوية في ضرب المصفوفات.
تعزيز الفهم مع الشروحات خطوة بخطوة.

استخدم حاسبة قوة المصفوفة لجعل حساباتك أسرع وأسهل وأكثر دقة!