حاسبة أثر المصفوفة

الفئة: الجبر الخطي
- سبتمبر 22, 2025
| |

احسب أثر مصفوفة مربعة. أثر المصفوفة هو مجموع جميع العناصر على القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين).

أبعاد المصفوفة

إدخال المصفوفة

خيارات العرض

حول أثر المصفوفة

أثر المصفوفة المربعة A، المرموز له بـ tr(A)، هو مجموع جميع العناصر على القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين).

التعريف

بالنسبة لمصفوفة n × n A = [aij], يتم تعريف الأثر كالتالي:

tr(A) = a11 + a22 + ... + ann = Σi=1n aii

خصائص أثر المصفوفة
  • الخطية: tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • الضرب العددي: tr(cA) = c·tr(A)، حيث c هو عدد عددي
  • الثبات تحت النقل: tr(A) = tr(AT)
  • الثبات تحت التحولات المشابهة: tr(P-1AP) = tr(A)
  • خاصية الأثر الضربي: tr(AB) = tr(BA)
تطبيقات أثر المصفوفة
  • حساب مجموع القيم الذاتية لمصفوفة
  • تعريف معايير المصفوفة (مثل معيار فروبينيوس)
  • ميكانيكا الكم (أثر مصفوفة الكثافة يساوي 1)
  • الإحصاءات (أثر مصفوفة التباين يساوي التباين الكلي)
  • تعلم الآلة والتحسين (تنظيم معيار الأثر)

فهم أثر المصفوفة

أثر المصفوفة هو مفهوم أساسي في الجبر الخطي. يُعرف بأنه مجموع العناصر على القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة. رياضيًا، إذا كانت \( A \) مصفوفة مربعة بحجم \( n \)، فإن أثرها يُعطى بواسطة:

\[ \text{Trace}(A) = \sum_{i=1}^{n} A[i,i] \]

يتضمن القطر الرئيسي للمصفوفة العناصر التي تكون فيها مؤشرات الصف والعمود متساوية. على سبيل المثال، في المصفوفة التالية \( 3 \times 3 \):

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \\ 7 & 8 & 6 \end{bmatrix} \]

يتم حساب الأثر كالتالي:

\[ \text{Trace}(A) = A[1,1] + A[2,2] + A[3,3] = 2 + 3 + 6 = 11 \]

حول آلة حاسبة أثر المصفوفة

آلة حاسبة أثر المصفوفة هي أداة بسيطة لكنها قوية مصممة لحساب أثر مصفوفة مربعة بكفاءة. توفر شرحًا تفصيليًا خطوة بخطوة لعملية الحساب، مما يجعلها موردًا ممتازًا للتعلم وحل مشاكل الجبر الخطي.

الميزات الرئيسية

  • حجم مصفوفة قابل للتخصيص: اختر من مصفوفات 2 × 2، 3 × 3، أو 4 × 4.
  • إدخال تفاعلي: أدخل قيم المصفوفة مباشرة في الآلة الحاسبة.
  • حساب خطوة بخطوة: يظهر كيف يساهم كل عنصر قطري في الأثر النهائي.
  • تكامل MathJax: تُعرض النتائج والحسابات بتنسيق LaTeX نظيف واحترافي.
  • واجهة مستخدم سهلة الاستخدام: مصممة لتكون بديهية ومتاحة للمستخدمين من جميع مستويات المهارة.

كيفية استخدام آلة حاسبة أثر المصفوفة

  1. اختر حجم مصفوفة مربعة باستخدام قائمة السحب.
  2. أدخل قيم المصفوفة في حقول الإدخال. كل حقل يتوافق مع عنصر في المصفوفة.
  3. انقر على زر "احسب الأثر" لحساب الأثر.
  4. راجع النتائج:
    • المصفوفة الأصلية \( A \).
    • قيمة الأثر المحسوبة.
    • تفصيل خطوة بخطوة يوضح كيف يساهم كل عنصر قطري في الأثر.
  5. لإعادة تعيين الآلة الحاسبة وبدء حساب جديد، انقر على زر "مسح الكل".

التطبيقات العملية للأثر

يستخدم أثر المصفوفة على نطاق واسع في مجالات مختلفة، بما في ذلك:

  • الجبر الخطي: تبسيط التعبيرات التي تتضمن المصفوفات وفهم خصائصها.
  • تعلم الآلة: تحسين الخوارزميات مثل تحليل المكونات الرئيسية (PCA).
  • ميكانيكا الكم: تحليل المشغلين وخصائصهم.
  • الاقتصاد: تمثيل وتحليل الأنظمة الخطية في نماذج المدخلات والمخرجات.

أسئلة شائعة

ما هو أثر المصفوفة؟

أثر المصفوفة هو مجموع عناصرها القطرية. يتم تعريفه فقط للمصفوفات المربعة.

هل يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل مع المصفوفات غير المربعة؟

لا. يتم تعريف الأثر فقط للمصفوفات المربعة، لذا ستظهر الآلة الحاسبة رسالة خطأ إذا لم تكن المصفوفة مربعة.

ماذا يحدث إذا تركت حقلًا فارغًا أو أدخلت أرقامًا غير صالحة؟

ستعرض الآلة الحاسبة رسالة خطأ إذا كان أي حقل يحتوي على قيم غير صالحة أو مفقودة. تأكد من ملء جميع الحقول بأرقام صالحة قبل الحساب.

هل يمكنني استخدام هذه الآلة الحاسبة للمصفوفات الكبيرة؟

تدعم الآلة الحاسبة حتى مصفوفات 4 × 4 لسهولة الاستخدام والقراءة. للمصفوفات الأكبر، يُفضل استخدام لغة برمجة مثل بايثون أو MATLAB.

ابدأ في حساب أثر مصفوفاتك

سواء كنت تحل مشاكل رياضية، أو تدرس الجبر الخطي، أو تعمل على تطبيقات في تعلم الآلة، فإن آلة حاسبة أثر المصفوفة هي رفيقك الموثوق. تفسيراتها الواضحة وواجهتها التفاعلية تجعلها مثالية للطلاب والباحثين والمحترفين على حد سواء.