حاسبة المتجهات

الفئة: الجبر الخطي
- سبتمبر 06, 2025
| |

احسب العمليات على المتجهات بما في ذلك الجمع، الطرح، الضرب النقطي، الضرب الاتجاهي، والمزيد. يدعم هذا الحاسوب المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد ويوفر تفاصيل الحساب خطوة بخطوة.

إدخالات المتجهات

المتجه 1
المتجه 2

خيارات العرض

حول العمليات على المتجهات

المتجهات هي كائنات رياضية لها مقدار واتجاه. وهي أساسية في الفيزياء، الهندسة، الرسومات الحاسوبية، والعديد من المجالات الأخرى. يدعم هذا الحاسوب العمليات الشائعة على المتجهات في الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد.

العمليات الرئيسية على المتجهات
  • الجمع: يجمع المكونات المقابلة لمتجهين، مما ينتج متجهًا جديدًا.
  • الطرح: يطرح مكونات متجه من آخر، مفيد لإيجاد متجهات الإزاحة.
  • الضرب النقطي: حاصل ضرب عددي لمتجهين يعطي رقمًا واحدًا، يتعلق بالزاوية بين المتجهات.
  • الضرب الاتجاهي: ينتج متجهًا عموديًا على كلا المتجهين المدخلين (ثلاثي الأبعاد فقط).
  • المقدار: طول المتجه، يتم حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس.
  • التطبيع: إنشاء متجه وحدة (طوله 1) يشير في نفس اتجاه المتجه الأصلي.
  • الزاوية بين المتجهات: يتم حسابها باستخدام صيغة الضرب النقطي.
  • الإسقاط: يسقط متجهًا على آخر، مفيد في الفيزياء والرسومات.
  • الضرب في عدد ثابت: يضرب المتجه في عدد ثابت، مما يغير مقداره دون تغيير اتجاهه.
التطبيقات

حسابات المتجهات ضرورية في العديد من المجالات:

  • الفيزياء (القوى، السرعات، الحقول)
  • الهندسة (تحليل الهياكل، الدوائر الكهربائية)
  • الرسومات الحاسوبية وتطوير الألعاب
  • الروبوتات والملاحة
  • التعلم الآلي وتحليل البيانات
  • الهندسة التحليلية والجبر الخطي

جمع المتجهات:

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

الضرب النقطي:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

الضرب المتجهي:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

مقدار المتجه:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

الزاوية بين المتجهات:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

إسقاط المتجه:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

التطبيع:

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

الضرب العددي:

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

ما هو آلة حاسبة المتجهات؟

آلة حاسبة المتجهات هي أداة عبر الإنترنت سهلة الاستخدام تساعدك في إجراء العمليات الأساسية للمتجهات في كل من الفضاء ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد. تغطي الحسابات مثل جمع المتجهات، الطرح، الضرب النقطي، الضرب المتجهي، المقدار، التطبيع، الزاوية بين المتجهات، الإسقاط، والضرب العددي. مما يجعلها مفيدة للطلاب والمعلمين والمهندسين وأي شخص يعمل مع الجبر الخطي أو الفيزياء.

كيفية استخدام آلة حاسبة المتجهات

  • اختر عدد الأبعاد: 2D أو 3D.
  • اختر العملية المتجهية التي تريد تنفيذها من القائمة المنسدلة.
  • أدخل مكونات المتجه والعدد العددي (إذا لزم الأمر).
  • استخدم الخيارات لتحديد دقة الأرقام العشرية، عرض خطوات الحساب، أو تصور المتجهات.
  • انقر على زر احسب للحصول على نتيجتك.
  • انقر على إعادة تعيين لبدء حساب جديد.

الميزات الرئيسية

  • نتائج خطوة بخطوة: تشرح بوضوح كل مرحلة من مراحل الحساب.
  • يدعم 2D و3D: اختر الأبعاد التي تناسب مشكلتك.
  • تصور تفاعلي: شاهد متجهاتك ونتائجك على لوحة حية.
  • عمليات متعددة الاستخدامات: من جمع المتجهات البسيط إلى الضرب المتجهي والإسقاطات.
  • تحكم في الدقة: ضبط الأرقام العشرية لتناسب احتياجاتك.

لماذا تستخدم هذه الآلة الحاسبة؟

الرياضيات المتجهية ضرورية في العديد من مجالات الدراسة والعمل. تبسط هذه الآلة الحاسبة العملية من خلال السماح لك بالتركيز على المشكلة، وليس الرياضيات. سواء كنت تعمل على تحليل القوة في الفيزياء، أو البيانات الاتجاهية في الرسوميات الحاسوبية، أو حل المشكلات في الجبر الخطي، توفر لك هذه الأداة إجابات دقيقة بسرعة.

يمكنك أيضًا دمجها مع أدوات أخرى مثل أداة جمع المتجهات لاستكشاف كيفية دمج المتجهات، أو استخدام أداة مقدار المتجه لعزل طول المتجه. عند العمل على مشكلات متعلقة بالمصفوفات بشكل أوسع، قد تجد أدوات مثل آلة حاسبة تحليل LU، أداة تحليل QR، وأداة معكوس المصفوفة مفيدة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو المتجه؟

المتجه هو كمية لها مقدار (طول) واتجاه. يتم تمثيل المتجهات بواسطة إحداثيات في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد، مثل (x، y) أو (x، y، z).

هل يمكنني استخدام هذه الأداة لمشكلات الفيزياء؟

نعم. إنها مفيدة لحل المشكلات المتعلقة بالقوة، السرعة، الإزاحة، وغيرها من الكميات المتعلقة بالمتجهات في الفيزياء.

ما الفرق بين الضرب النقطي والضرب المتجهي؟

الضرب النقطي ينتج عنه قيمة عددية ويعتمد على الزاوية بين متجهين. بينما ينتج الضرب المتجهي متجهًا آخر يكون عموديًا على المتجهين الأصليين (فقط في 3D).

ماذا لو كنت بحاجة فقط لضرب متجه بعدد؟

استخدم خيار الضرب العددي لتكبير متجه بواسطة قيمة ثابتة (مثل مضاعفة طوله).

هل يمكنني رؤية كيفية إجراء الحساب؟

نعم. تحقق من مربع "عرض خطوات الحساب" قبل أن تحسب لرؤية تفصيل دقيق.

أدوات ذات صلة قد تجدها مفيدة

  • آلة حاسبة ضرب المتجهات العددية – اضرب المتجهات بالعدادات بسهولة.
  • آلة حاسبة الضرب النقطي – احسب المنتجات العددية بسرعة.
  • آلة حاسبة الضرب المتجهي – تعامل مع ضرب المتجهات ثلاثية الأبعاد.
  • آلة حاسبة معكوس المصفوفة – مفيدة لحل أنظمة المتجهات عبر المصفوفات.
  • أداة تحليل مصفوفة LU – قم بتفكيك المصفوفات إلى مكونات أدنى وأعلى لحل الأنظمة.

تعتبر آلة حاسبة المتجهات هذه أداة عملية وموثوقة لأي شخص يتعلم أو يعمل مع المتجهات. تدعم مجموعة واسعة من العمليات وتقدم النتائج بطريقة واضحة ومفيدة.