حاسبة فضاء الأعمدة

الفئة: الجبر الخطي
- سبتمبر 22, 2025
| |

احسب فضاء الأعمدة لمصفوفة، وهو مدى متجهات أعمدتها. يوفر هذا الآلة الحاسبة أساس فضاء الأعمدة والخصائص ذات الصلة.

أدخل قيم مصفوفاتك أدناه، وستجد الآلة الحاسبة فضاء الأعمدة باستخدام الإزالة الغاوسية لتحديد الأعمدة المستقلة خطيًا.

إدخال المصفوفة

مفاهيم الجبر الخطي

فضاء الأعمدة هو مفهوم أساسي في الجبر الخطي يساعدنا على فهم سلوك التحولات الخطية وأنظمة المعادلات الخطية.

إيجاد فضاء الأعمدة

لإيجاد أساس فضاء الأعمدة لمصفوفة A:

  1. حوّل المصفوفة إلى الشكل المخفض للمصفوفة (RREF)
  2. حدد الأعمدة المحورية في المصفوفة الأصلية (الأعمدة التي تحتوي على 1's الرائدة في RREF)
  3. تشكل هذه الأعمدة المحورية من المصفوفة الأصلية أساسًا لفضاء الأعمدة
نظرية الرتبة والعدم

بالنسبة لأي مصفوفة A بحجم m × n:

rank(A) + nullity(A) = n

حيث:

  • rank(A) = بعد فضاء الأعمدة = بعد فضاء الصفوف
  • nullity(A) = بعد فضاء العدم (النواة)
  • n = عدد الأعمدة في A
التطبيقات

يستخدم تحليل فضاء الأعمدة في:

  • تحديد قابلية الحل لأنظمة المعادلات الخطية
  • ضغط البيانات ومعالجة الصور
  • خوارزميات التعلم الآلي
  • معالجة الإشارات
  • محاكاة الهندسة

معادلة فضاء الأعمدة:

Col(A) = Span{a₁, a₂, ..., aₙ}

حيث a₁، a₂، ...، aₙ هي أعمدة المصفوفة A

ما هو حاسبة فضاء الأعمدة؟

حاسبة فضاء الأعمدة هي أداة مفيدة عبر الإنترنت لأي شخص يعمل مع المصفوفات في الجبر الخطي. تساعد في تحديد فضاء الأعمدة لمصفوفة ما - مجموعة جميع التركيبات الخطية لأعمدتها. هذا يخبرنا كيف تحول المصفوفة البيانات وما إذا كانت بعض المعادلات لها حلول.

من خلال إدخال قيم المصفوفة الخاصة بك، تقوم الحاسبة تلقائيًا بإجراء تقليل الصفوف لتحديد متجهات الأساس لفضاء الأعمدة. يكشف هذا الأساس عن هيكل المصفوفة وعدد الأبعاد التي تمتد إليها.

كيفية استخدام الحاسبة

  • ابدأ باختيار عدد الصفوف والأعمدة لمصفوفتك (حتى 10×10).
  • انقر على "إنشاء مصفوفة" لإنشاء حقول الإدخال.
  • املأ قيم المصفوفة يدويًا أو استخدم الأزرار المقدمة لإنشاء مصفوفة عشوائية أو مصفوفة هوية.
  • قم بضبط خيارات العرض لعرض خطوات الحساب، RREF، أو استخدام القيم الكسرية.
  • انقر على "احسب فضاء الأعمدة" للحصول على النتائج.

الميزات والنتائج

  • أساس فضاء الأعمدة: يعرض مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا التي تمتد إلى فضاء الأعمدة.
  • البعد: يظهر عدد المتجهات التي تمتد إلى فضاء الأعمدة.
  • الرتبة والعدم: مفيد لفهم هيكل المصفوفة، بما في ذلك الرؤى من نظرية الرتبة والعدم.
  • شكل الصف المخفض (RREF): يساعد في تصور مواقع المحاور والاعتماديات الخطية.
  • شرح خطوة بخطوة: يوجهك خلال كل خطوة من عملية تقليل الصفوف.

لماذا هو مفيد

تعتبر هذه الحاسبة أداة تعليمية رائعة للطلاب والمعلمين والمحترفين الذين يحتاجون إلى:

  • تحليل الأنظمة الخطية وتحديد ما إذا كانت لها حلول.
  • فهم الامتداد والاستقلالية لأعمدة المصفوفة.
  • تحديد رتبة المصفوفة وعدمها لأغراض الإثباتات الرياضية أو النمذجة في العالم الحقيقي.

كما أنها مفيدة عند استخدام أدوات ذات صلة مثل حاسبة إلغاء غاوس-جوردان لحل الأنظمة، وحاسبة رتبة المصفوفة لتقييم البعد، وحاسبة فضاء العدم للعثور على نواة المصفوفة.

المفاهيم والأدوات ذات الصلة

إذا كنت تعمل مع مشاكل المصفوفات، فقد تكون هذه الأدوات مفيدة أيضًا:

  • حاسبة تحليل LU – لتحليل المصفوفة LU وحل الأنظمة باستخدام طريقة LU.
  • حاسبة معكوس المصفوفة – للعثور على معكوس المصفوفات المربعة.
  • حاسبة تحليل QR – لتحليل المصفوفات العمودية-مثلثية.
  • حاسبة تحويل المصفوفة إلى شكل قطري – لتحويل المصفوفات باستخدام القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

الأسئلة الشائعة

ما هو فضاء الأعمدة لمصفوفة؟

فضاء الأعمدة هو مجموعة جميع المتجهات التي يمكن تشكيلها من خلال أخذ التركيبات الخطية لأعمدة المصفوفة. يظهر أين تقوم المصفوفة بتوجيه المتجهات المدخلة في تحولها.

كيف أجد أساسًا لفضاء الأعمدة؟

من خلال تحويل المصفوفة إلى شكل الصف المخفض وتحديد الأعمدة المحورية. هذه تتوافق مع الأعمدة المستقلة خطيًا في المصفوفة الأصلية.

ماذا تخبرني رتبة المصفوفة؟

الرتبة هي عدد الأعمدة المستقلة خطيًا - وهي تساوي بعد فضاء الأعمدة.

ماذا لو كانت مصفوفتى بلا رتبة؟

إذا كانت الرتبة صفر، فإن جميع الأعمدة تعتمد خطيًا أو تكون صفر. يحتوي فضاء الأعمدة فقط على المتجه الصفري.

هل يمكن أن تساعدني هذه الأداة في الواجبات المنزلية أو الامتحانات؟

نعم، إنها مفيدة بشكل خاص للتحقق من الإجابات، وتعلم خطوات تحويل المصفوفة، وفهم كيفية عمل الجبر الخطي في الممارسة العملية.

الخاتمة

تعتبر حاسبة فضاء الأعمدة موردًا عمليًا لتصور وفهم هيكل المصفوفات. سواء كنت تحل أنظمة خطية أو تستكشف فضاءات المتجهات، فإن هذه الأداة تجعل من الأسهل فهم المفاهيم المهمة في الجبر الخطي.