حاسبة SVD

الفئة: الجبر الخطي
- أغسطس 18, 2025
| |

احسب تحليل القيمة الفردية (SVD) لمصفوفة. يقوم SVD بتفكيك المصفوفة إلى ثلاثة مكونات: U و Σ و V*. لهذا التفكيك تطبيقات عديدة في الإحصاء ومعالجة الإشارات وضغط الصور والمزيد.

إدخال المصفوفة

خيارات العرض

حول تحليل القيمة الفردية

تحليل القيمة الفردية (SVD) هو تقنية تحليل تقوم بتفكيك مصفوفة A إلى ثلاث مصفوفات: U و Σ و V*. له تطبيقات واسعة في علم البيانات ومعالجة الإشارات والجبر الخطي.

التعريف الرياضي

لمصفوفة A بحجم m×n، فإن SVD هو:

A = UΣV*

حيث:

  • U هي مصفوفة متعامدة بحجم m×m (U*U = I)
  • Σ هي مصفوفة قطرية بحجم m×n تحتوي على قيم فردية غير سالبة
  • V* هي المصفوفة المرافقة لمصفوفة متعامدة بحجم n×n (V*V = I)
تطبيقات SVD
  • تقليل الأبعاد: تحليل المكونات الرئيسية (PCA)
  • ضغط الصور: تقليل التخزين مع الحفاظ على جودة الصورة
  • تحليل البيانات: تقليل الضوضاء واستخراج الميزات
  • أنظمة التوصية: التصفية التعاونية للتوصيات
  • حساب المعكوس الزائف: إيجاد حلول للأنظمة ذات الحالة السيئة
  • معالجة الإشارات: التصفية وإزالة الضوضاء
خصائص SVD
  • القيم الفردية فريدة ومرتبة بترتيب تنازلي
  • عدد القيم الفردية غير الصفرية يساوي رتبة المصفوفة
  • عدد الحالة هو نسبة أكبر قيمة فردية إلى أصغر قيمة فردية
  • يمكن استخدام SVD لحساب المعكوس الزائف عبر A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD مستقر عددياً للحساب

معادلة تحليل القيمة المفردة:

A = UΣV*

حيث:

  • U = مصفوفة المتجهات المفردة اليسارية
  • Σ = مصفوفة قطرية للقيم المفردة
  • V* = المصفوفة المنقولة للمتجهات المفردة اليمنى

ما هو حاسبة SVD؟

حاسبة تحليل القيمة المفردة (SVD) هي أداة قائمة على الويب تقوم بتفكيك أي مصفوفة إلى ثلاثة مكونات أساسية: U، Σ (سيغما)، وV*. تُستخدم هذه العملية على نطاق واسع في الجبر الخطي لتطبيقات مثل ضغط البيانات، وتصفيه الإشارات، وحل أنظمة المعادلات.

مع حاسبة SVD، يمكنك تحليل هيكل المصفوفة بسرعة، وفهم خصائصها البُعدية، وحساب القيم الرئيسية مثل رقم الحالة، والرتبة، والمعكوس الزائف.

لماذا تستخدم هذه الحاسبة؟

تساعدك هذه الأداة على:

  • تفكيك مصفوفة إلى U، Σ، وV* لتحليل أعمق
  • فهم سلوك مصفوفاتك من خلال قيمها المفردة
  • استكشاف خصائص مثل رتبة المصفوفة، ورقم الحالة، ومعيار فروبينيوس
  • التحقق من دقة التفكيك
  • حساب المعكوس الزائف لمور-بينروز على الفور

إذا كنت تعمل مع بيانات الصور، أو الإحصائيات، أو حل الأنظمة الخطية، فإن هذه الحاسبة توفر لك التفكيك الذي تحتاجه. إنها تكمل أدوات أخرى مثل حاسبة تحليل LU، حاسبة المعكوس الزائف، وحاسبة المعكوس المصفوفي من خلال التركيز بشكل خاص على تحليل القيمة المفردة.

كيفية استخدام حاسبة SVD

اتبع هذه الخطوات البسيطة:

  1. اختر عدد الصفوف والأعمدة لمصفوفتك.
  2. انقر على "إنشاء مصفوفة" لإنشاء حقول الإدخال.
  3. أدخل قيم مصفوفاتك في الحقول.
  4. اختر خيارات العرض مثل دقة الأرقام العشرية وما إذا كنت تريد عرض الشرح خطوة بخطوة.
  5. انقر على "احسب SVD" لمعالجة المصفوفة.
  6. راجع مصفوفات U، Σ، وV* الناتجة، بالإضافة إلى القيم المشتقة مثل المعكوس الزائف ورقم الحالة.

يمكنك أيضًا تحميل مصفوفة نموذجية باستخدام زر "تحميل مثال" لرؤية كيفية عملها على الفور.

فوائد استخدام SVD

تُستخدم SVD في العديد من المجالات ولها فوائد عملية:

  • ضغط البيانات: تقليل حجم البيانات دون فقد الميزات الأساسية
  • تقليل الضوضاء: القضاء على المكونات الثانوية في الإشارات أو مجموعات البيانات
  • تعلم الآلة: تحسين أداء الخوارزميات من خلال تقليل الأبعاد
  • حلول المصفوفات: حساب المعكوس الزائف عندما لا يوجد معكوس عادي
  • معالجة الصور: ضغط وإعادة بناء الصور بكفاءة

تكون هذه الأداة مفيدة بشكل خاص عند اقترانها بأدوات المصفوفات مثل حاسبة تحليل QR، حاسبة إلغاء غاوس-جوردان، وحاسبة تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

  • ما حجم المصفوفة التي يمكنني إدخالها؟
    يمكنك إدخال مصفوفات من 1×1 حتى 10×10.
  • ماذا لو كانت قيم مصفوفتى صغيرة جدًا؟
    تبرز الحاسبة القيم القريبة من الصفر لمساعدتك في التركيز على النتائج المهمة.
  • هل يمكنني رؤية كيفية حساب SVD؟
    نعم! قم بتمكين خيار "عرض الشرح" لرؤية تفكيك خطوة بخطوة للعملية.
  • هل هذه الأداة مفيدة للتعلم؟
    بالتأكيد. يجعل التفكيك المرئي وخطوات الحساب منها أداة تعليمية رائعة للطلاب والمعلمين.
  • كيف يختلف هذا عن أدوات المصفوفات الأخرى؟
    بينما تركز حاسبة المعكوس المصفوفي وتحليل LU للمصفوفات على الحلول المباشرة للأنظمة الخطية، تقدم SVD رؤى أعمق حول هيكل واستقرار المصفوفة.

أدوات ذات صلة قد تجدها مفيدة