حاسبة قاعدة سيمبسون

المؤلف: Henrick Yau
- July 18, 2026
| |

حاسبة قاعدة سيمبسون

احسب التكاملات المحددة عدديًا باستخدام قاعدة سيمبسون. تقوم هذه الآلة الحاسبة بتقريب التكامل لدالة على فترة زمنية محددة عن طريق تركيب أقواس مكافئة عبر نقاط متساوية البعد.

معاملات التكامل

استخدم x كمتغير. الدوال الرياضية: sin, cos, tan, log, sqrt، إلخ.
يجب أن يكون عددًا زوجيًا لقاعدة سيمبسون

خيارات التصور

فهم قاعدة سيمبسون

قاعدة سيمبسون هي طريقة تقريب عددي للتكاملات المحددة. تقوم بتقريب الدالة باستخدام كثيرات الحدود التربيعية، مما يوفر دقة أفضل من الطرق الأبسط مثل قاعدة شبه المنحرف.

الصيغة
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

حيث:

  • h = (b - a) / n هو عرض كل فترة فرعية
  • n هو عدد الفترات الفرعية (يجب أن يكون زوجيًا)
  • xi = a + i·h هي النقاط المتباعدة بالتساوي
حد الخطأ

قاعدة سيمبسون لها حد خطأ من الرتبة O(h5)، مما يعني أن الخطأ يتناسب مع h4. على وجه التحديد:

\text{الخطأ} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

حيث f(4)(ξ) هي المشتقة الرابعة لـ f عند نقطة ما ξ بين a و b.

مقارنة مع الطرق الأخرى
  • قاعدة نقطة المنتصف: الخطأ من الرتبة O(h3)، أقل دقة من قاعدة سيمبسون
  • قاعدة شبه المنحرف: الخطأ من الرتبة O(h3)، أقل دقة من قاعدة سيمبسون
  • قاعدة سيمبسون 3/8: دقة مماثلة لقاعدة سيمبسون
  • التكامل الغاوسي: أكثر دقة لفئات معينة من الدوال

إخلاء مسؤولية: توفر هذه الآلة الحاسبة تقديرات رقمية قد تحتوي على أخطاء، خاصة للدوال ذات التفردات أو التذبذبات السريعة. تحقق دائمًا من النتائج المهمة باستخدام طرق بديلة أو حلول تحليلية عند الإمكان.

ما هي حاسبة قاعدة سيمبسون؟

حاسبة قاعدة سيمبسون هي أداة تفاعلية تُقدّر قيمة التكامل المحدد. بدلاً من حل التكاملات المعقدة يدويًا، تطبق هذه الحاسبة طريقة عددية موثوقة لتقريب المساحة تحت المنحنى، تُعرف بقاعدة سيمبسون. وهي مفيدة بشكل خاص للدوال التي يصعب أو يستحيل تكاملها تحليليًا.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

تقسم هذه الطريقة الفترة إلى عدد زوجي من الأجزاء وتُركّب قطعًا مكافئة عبر نقاط على الرسم البياني للدالة. وتُحقق دقة أفضل من قاعدة شبه المنحرف أو قاعدة نقطة المنتصف.

لماذا استخدامها؟

سواء كنت طالبًا أو معلمًا أو مهندسًا أو متعلمًا فضوليًا، تساعدك حاسبة قاعدة سيمبسون في:

  • تقدير التكاملات المحددة بسرعة
  • تصور كيفية تقريب المساحة تحت المنحنى
  • فهم تأثير تغيير عدد الفترات
  • إجراء تحليل الخطأ وعرض سلوك التقارب

كما أنها تُكمل أدوات أخرى مثل حاسبة التكامل لحل التكاملات المحددة أو غير المحددة وحاسبة المشتقة العكسية لإيجاد المشتقات العكسية. إذا كنت تعمل مع دوال متعددة المتغيرات، فاطلع على حاسبة المشتقة الجزئية لحساب المشتقات الجزئية أو تحليل التفاضل متعدد المتغيرات.

كيفية استخدام الحاسبة

اتبع هذه الخطوات البسيطة للحصول على تقريب دقيق للتكامل المحدد الخاص بك:

  1. أدخل الدالة التي تريد تكاملها في مربع الإدخال (استخدم x كمتغير).
  2. حدد الحدين الأدنى والأعلى لفترة التكامل.
  3. اختر عدد الفترات (يجب أن يكون عددًا زوجيًا).
  4. اختياريًا، فعّل رسم الدالة والمرئيات التقريبية.
  5. انقر على "حساب التكامل" لعرض النتيجة والرسم البياني والتحليل.

يمكنك إعادة تعيين الحاسبة في أي وقت باستخدام زر "إعادة تعيين".

حالات الاستخدام الشائعة

استخدم حاسبة قاعدة سيمبسون من أجل:

  • تقريب المساحة تحت المنحنيات عندما يصعب حساب التكامل الدقيق
  • مقارنة النتائج العددية مع الحلول الدقيقة من حلال التكامل
  • تحليل التقارب عن طريق زيادة الفترات
  • الحصول على رؤى حول سلوك الخطأ عبر أعداد مختلفة من الفترات

وهي مفيدة بشكل خاص للتحقق من العمل أو استكمال النتائج من أدوات مثل حاسبة المشتقة الثانية أو حاسبة المشتقة الاتجاهية في التحليل متعدد المتغيرات.

الأسئلة الشائعة

س: ما نوع الدوال التي يمكنني إدخالها؟
أي دالة تستخدم x كمتغير. تشمل التعبيرات الشائعة كثيرات الحدود والدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية. على سبيل المثال: x^2 + sin(x).

س: لماذا يجب أن يكون عدد الفترات زوجيًا؟
تعتمد قاعدة سيمبسون على تركيب قطع مكافئة عبر أزواج من الفترات. عدد فردي من الفترات سيكسر هذا الاقتران.

س: ما مدى دقة هذه الطريقة؟
قاعدة سيمبسون دقيقة للغاية للدوال الملساء وتتحسن مع زيادة الفترات. تعرض الحاسبة أيضًا معلومات الخطأ والتقارب.

س: ماذا لو كانت دالتي غير معرفة في نقطة ما؟
تجنب الدوال ذات التفردات أو الانقطاعات داخل الفترة. يمكن أن تسبب هذه نتائج غير دقيقة أو أخطاء في التقييم.

أفكار ختامية

هذه الحاسبة هي رفيق مفيد لدراسة التفاضل والتكامل وحل المشكلات الواقعية التي تتضمن التكامل. وهي جزء من مجموعة أوسع من الأدوات الرياضية مثل حاسبة المشتقة وحاسبة المشتقة العكسية وحاسبة النهايات التي تُبسّط تعلم وتطبيق مفاهيم الرياضيات المتقدمة.