آلة توسيع الحدود الثنائية

الفئة: الجبر الثاني
- يونيو 08, 2025
| |

احسب توسيع تعبير ثنائي من الشكل (a + b)^n أو (a - b)^n باستخدام نظرية ثنائية الحدود.

التعبير الثنائي

خيارات العرض

حول نظرية ثنائية الحدود

نظرية ثنائية الحدود هي صيغة تصف كيفية توسيع التعبيرات من الشكل (a + b)^n حيث n هو عدد صحيح غير سالب. تُستخدم على نطاق واسع في الجبر، نظرية الاحتمالات، وحساب التفاضل والتكامل.

الخصائص الرئيسية
  • التوسيع يحتوي على (n+1) حد
  • تتناقص قوى a من n إلى 0، بينما تزداد قوى b من 0 إلى n
  • تتبع المعاملات نمط مثلث باسكال
  • بالنسبة لـ (a - b)^n، ستكون الحدود ذات القوى الفردية من b سالبة
التطبيقات
  • تبسيط الجبر
  • توزيعات الاحتمالات (خصوصًا توزيع الاحتمال الثنائي)
  • طرق التقريب في حساب التفاضل والتكامل
  • الرياضيات التوافقية

فهم آلة حساب التمديد الثنائي

آلة حساب التمديد الثنائي هي أداة عملية مصممة لتبسيط وتوسيع التعبيرات الثنائية. سواء كنت تعمل على مسائل جبرية، أو تستعد للامتحانات، أو تحل معادلات رياضية في العالم الحقيقي، توفر لك هذه الآلة نتائج سريعة ودقيقة. كما تقدم شرحًا مفصلًا خطوة بخطوة لمساعدتك على فهم عملية التمديد.

ما هو التمديد الثنائي؟

التمديد الثنائي هو طريقة في الجبر تُستخدم لتوسيع التعبيرات المرفوعة إلى قوة، مثل \( (a + b)^n \). تستخدم نظرية التمديد الثنائي، التي تنص على:

$$ (a + b)^n = \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

هنا:

  • \( n \) هو الأس (عدد صحيح غير سالب).
  • \( \\binom{n}{k} \) هو معامل التمديد الثنائي، يُحسب كـ \( \\frac{n!}{k!(n-k)!} \).
  • \( a^{n-k} \) و \( b^k \) هما الحدود المعنية المرفوعة إلى قوى تحددها \( k \).

كيفية استخدام آلة حساب التمديد الثنائي

تقوم الآلة بتبسيط عملية التمديد إلى خطوات سهلة:

  1. أدخل التعبير الثنائي في الشكل \( (a + b)^n \) أو \( (a - b)^n \) في مربع الإدخال.
  2. انقر على زر احسب لعرض النتيجة الموسعة والشرح خطوة بخطوة.
  3. زر مسح يعيد تعيين الإدخال، مما يتيح لك البدء من جديد.

الميزات الرئيسية

  • إدخال بسيط: يقبل التعبيرات الثنائية القياسية في الشكل \( (a + b)^n \) أو \( (a - b)^n \).
  • شرح خطوة بخطوة: يظهر تفصيل عملية التمديد الثنائي لفهم أفضل.
  • نتائج دقيقة: تستخدم نظرية التمديد الثنائي لحساب كل حد بدقة.
  • واجهة سهلة الاستخدام: تصميم واضح وأزرار بديهية تجعل الآلة سهلة الاستخدام.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو الحد الأقصى للأس الذي يمكن للآلة التعامل معه؟

يمكن للآلة التعامل مع أي أس صحيح غير سالب، على الرغم من أن القيم الكبيرة جدًا قد تستغرق وقتًا أطول للحساب بسبب عدد الحدود.

هل تدعم الآلة القيم السلبية في الثنائي؟

نعم، تتعامل الآلة مع القيم السلبية وتحسب التمديد بدقة.

كيف يتم توليد الشرح خطوة بخطوة؟

يتضمن الشرح حساب كل حد باستخدام نظرية التمديد الثنائي، مع تسليط الضوء على المعاملات، وقوى \( a \)، وقوى \( b \) من أجل الوضوح.

هل يمكنني استخدام الكسور أو الأعداد العشرية في الإدخال؟

نعم، تدعم الآلة القيم الكسرية والعشرية لـ \( a \) و \( b \).

الخاتمة

آلة حساب التمديد الثنائي هي أداة مفيدة لأي شخص يدرس أو يعمل مع التعبيرات الجبرية. إنها توفر الوقت، وتقدم شروحات واضحة، وتضمن نتائج دقيقة، مما يجعلها موردًا لا غنى عنه لحل التمديدات الثنائية.