آلة حساب دالة غاما

الفئة: التفاضل والتكامل
- يونيو 05, 2025
| |

تمتد دالة غاما إلى دالة العامل للأعداد المركبة وغير الصحيحة. بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، Γ(n) = (n-1)!

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حساب قيمة دالة غاما للأعداد الحقيقية ورؤية رسمها البياني.

معلمات الإدخال

خيارات العرض

حول دالة غاما

دالة غاما هي امتداد لدالة العامل للقيم المركبة وغير الصحيحة. تم تقديمها من قبل ليونهارد أويلر في القرن الثامن عشر ولها تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك نظرية الاحتمالات، والتركيبات، ونظرية الأعداد.

الخصائص الرئيسية
  • امتداد العامل: بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n، Γ(n) = (n-1)!
  • علاقة التكرار: Γ(z+1) = z·Γ(z)
  • القيم الخاصة: Γ(1) = 1، Γ(1/2) = √π
  • صيغة الانعكاس: Γ(z)·Γ(1-z) = π/sin(πz)
  • صيغة التكرار: Γ(z)·Γ(z+1/2) = 21-2z·√π·Γ(2z)
التطبيقات

تظهر دالة غاما في العديد من المجالات بما في ذلك:

  • التوزيعات الإحصائية (بيتا، غاما، كاي-تربيع)
  • حلول المعادلات التفاضلية
  • نظرية الأعداد التحليلية
  • الفيزياء الكمومية
  • السلاسل التقريبية والتقريبات

ما هي دالة غاما؟

دالة غاما، التي تُرمز بـ Γ(z)، هي دالة رياضية توسع فكرة العامل إلى الأعداد الحقيقية والمعقدة. بالنسبة لأي عدد صحيح موجب n، تحقق دالة غاما الهوية:

Γ(n) = (n - 1)!

لكنها تعمل أيضًا للقيم غير الصحيحة، مما يجعلها مفيدة بشكل خاص في الرياضيات المتقدمة والعلوم التطبيقية.

التعريف الأكثر شيوعًا لدالة غاما يُعطى بواسطة تكامل غير محدد:

Γ(z) = ∫0∞ tz−1e−t dt

هذا التكامل يتقارب لجميع الأعداد المعقدة ذات الجزء الحقيقي الموجب ويوفر وسيلة لتقييم القيم الشبيهة بالعوامل للأعداد العشرية، الكسور، وحتى بعض القيم السلبية (باستثناء الأعداد الصحيحة السلبية والصفر).

غرض آلة حاسبة دالة غاما

تساعدك هذه الآلة الحاسبة في حساب قيمة دالة غاما لأي إدخال حقيقي، وليس فقط للأعداد الكاملة. سواء كنت تدرس حساب التفاضل والتكامل المتقدم أو تحتاج إلى بحث سريع عن الدوال الخاصة، توفر لك هذه الأداة نتائج فورية وتصويرات لتعزيز فهمك.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

اتبع هذه الخطوات لحساب قيمة دالة غاما:

  • أدخل عددًا حقيقيًا في حقل قيمة الإدخال (z). على سبيل المثال، جرب 2.5.
  • قم بضبط عدد الأرقام العشرية التي تريدها في النتيجة.
  • اختر ما إذا كنت تريد عرض خطوات الحساب لفهم كيفية اشتقاق النتيجة.
  • اختياريًا، قم بتعيين نطاق مخصص لرسم رسم دالة غاما.
  • انقر على زر احسب للحصول على نتيجتك.

إذا كان إدخالك عددًا صحيحًا موجبًا، ستظهر الآلة الحاسبة أيضًا المعادل العامل. بالنسبة للإدخالات الكسرية أو السلبية (باستثناء الأعداد الصحيحة السلبية)، تستخدم تقديرات متقدمة لحساب قيم دقيقة.

الفوائد والتطبيقات

تظهر دالة غاما في العديد من مجالات العلوم والرياضيات. إليك بعض الأمثلة حيث يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة مفيدة بشكل خاص:

  • في نظرية الاحتمالات، تساعد في تعريف توزيعات الاحتمالات المستمرة مثل توزيعات غاما وشي-مربعة.
  • في حساب التفاضل والتكامل، تدعم تعميمات دوال العامل المستخدمة في المشتقات العكسية والتكاملات.
  • في الفيزياء، تلعب دورًا في معادلات الميكانيكا الكمومية والديناميكا الحرارية.
  • في التحليل الرياضي، تكمل أدوات مثل آلة حاسبة للمشتقة الجزئية أو آلة حاسبة للمشتقة العكسية من خلال التعامل مع الدوال الخاصة التي تظهر في الصيغ المتقدمة.

ملخص صيغة دالة غاما

بعض الهويات الرئيسية التي تستخدمها الآلة الحاسبة تشمل:

Γ(z+1) = z · Γ(z)
Γ(1) = 1,   Γ(1/2) = √π
Γ(z) · Γ(1 - z) = π / sin(πz)

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ماذا يحدث إذا أدخلت عددًا صحيحًا سالبًا أو صفرًا؟

دالة غاما غير معرفة للصفر أو الأعداد الصحيحة السلبية. ستظهر الآلة الحاسبة النتيجة على أنها غير معرفة في تلك الحالات.

هل يمكنني استخدام هذه الأداة للإدخالات الكبيرة جدًا؟

نعم. بالنسبة للقيم الكبيرة، تستخدم الآلة الحاسبة تقريب ستيرلينغ لضمان أن النتائج لا تزال دقيقة وسريعة.

لماذا تعتبر دالة غاما أفضل من العوامل للأعداد غير الصحيحة؟

تعمل العوامل فقط للأعداد الكاملة. تتيح لك دالة غاما حساب قيم "شبيهة بالعوامل" للأعداد العشرية والكسور، وهو أمر حاسم في مجالات مثل الإحصاء والفيزياء.

ما الأدوات الأخرى التي قد أحتاجها بجانب هذه الآلة الحاسبة؟

اعتمادًا على ما تعمل عليه، قد تستفيد أيضًا من أدوات مثل:

  • آلة حاسبة للمشتقة الجزئية – لحساب المشتقات الجزئية في الدوال متعددة المتغيرات.
  • آلة حاسبة للمشتقة العكسية – للعثور على المشتقات العكسية وحل مشاكل التكامل.
  • آلة حاسبة للمشتقة – للحصول على نتائج سريعة للمشتقات وتحليل المنحنيات.
  • آلة حاسبة للمشتقة الثانية – لدراسة التقعر ونقاط الانعطاف.
  • آلة حاسبة للتكامل – لتقييم التكاملات المحددة وغير المحددة.

ملخص

آلة حاسبة دالة غاما هي أداة سريعة وبديهية لتقييم دالة غاما لأي إدخال حقيقي. مع الرسوم البيانية المرئية، والحلول خطوة بخطوة، والتحكم في الدقة، فهي رفيق مفيد في دراسة الدوال المتقدمة، وحل التكاملات، أو استكشاف مواضيع تتجاوز العوامل التقليدية.