آلة حساب المشتقات العكسية

الفئة: التفاضل والتكامل
- مايو 16, 2025
| |

ابحث عن التكامل غير المحدد لدالة. تساعدك هذه الآلة الحاسبة على تحديد الدالة الأصلية من مشتقتها.

أدخل الدالة

خيارات العرض

حول التكاملات غير المحددة والتكامل

التكامل غير المحدد (أو التكامل غير المحدد) لدالة f(x) هو دالة F(x) التي مشتقتها هي f(x). بعبارة أخرى، إذا كانت F'(x) = f(x)، فإن F(x) هي تكامل غير محدد لـ f(x).

الخصائص الرئيسية للتكاملات غير المحددة
  • إذا كانت F(x) هي تكامل غير محدد لـ f(x)، فإن F(x) + C هي أيضًا تكامل غير محدد، حيث C هو أي ثابت
  • التكامل غير المحدد لمجموع هو مجموع التكاملات غير المحددة: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • قاعدة المضاعف الثابت: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx، حيث k هو ثابت
  • قاعدة القوة: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C، حيث n ≠ -1
  • تكامل e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • تكامل 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
تطبيقات التكامل

للتكاملات غير المحددة والتكامل تطبيقات عديدة في:

  • إيجاد المساحة تحت المنحنيات وبين المنحنيات
  • حساب أحجام الأجسام ثلاثية الأبعاد
  • حل المعادلات التفاضلية
  • تطبيقات في الفيزياء: العمل، الطاقة، والحركة
  • الاحتمالات والإحصاء
  • الهندسة: تحليل الإجهاد، ديناميكا السوائل، إلخ.

ما هو المشتق العكسي؟

يساعد المشتق العكسي في حساب مشتق الدالة العكسية لدالة معينة. بالنسبة لدالة ( f(x) )، يتم تحديد مشتقها العكسي، ( f^{-1}(x) )، باستخدام الصيغة:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

تنشأ هذه الصيغة من العلاقة ( f(f^(-1)(x)) = x ). من خلال اشتقاق كلا الجانبين بالنسبة لـ ( x )، نحصل على:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

عند حل المعادلة لـ ( (f^(-1)(x))' )، نحصل على:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

تعتبر هذه الفكرة مفيدة بشكل خاص في حساب التفاضل لتحليل مدى سرعة تغير الدالة العكسية عند نقطة معينة.

ميزات آلة حاسبة المشتق العكسي

  • خطوات مفصلة: أدخل دالة وقيمة ( x ) لرؤية حل مفصل خطوة بخطوة.
  • دوال نموذجية: اختبر الآلة الحاسبة مع دوال محملة مسبقًا مثل ( f(x) = x^2 + 1 )، ( f(x) = e^x )، أو ( f(x) = ln(x) ).
  • تصوير بياني: تقوم الآلة الحاسبة برسم كل من الدالة ومشتقها العكسي.

كيفية استخدام آلة حاسبة المشتق العكسي

  1. أدخل دالة: أدخل الدالة ( f(x) ) التي تريد حساب مشتقها العكسي. على سبيل المثال: x^2 + 1 أو e^x.
  2. حدد قيمة ( x ): أدخل النقطة التي تريد حساب مشتق الدالة العكسية عندها.
  3. اضغط على حساب: عرض النتيجة مع شرح مفصل للحساب.
  4. استكشاف الأمثلة المحملة مسبقًا: استخدم قائمة السحب لتجربة دوال نموذجية ورؤية كيفية عمل الآلة الحاسبة.

مثال توضيحي

افترض أنك تريد حساب المشتق العكسي لـ ( f(x) = x^2 + 1 ) عند ( x = 2 ):

  1. مشتق ( f(x) ) هو:

( f'(x) = 2 * x )

  1. تقييم ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. باستخدام الصيغة للمشتق العكسي:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

عند ( x = 2 )، يكون المشتق العكسي هو:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

الفوائد الرئيسية لاستخدام هذه الآلة الحاسبة

  • حساب المشتق العكسي بسرعة للدوال المعقدة.
  • تصور الدالة ومشتقها العكسي على رسم بياني تفاعلي.
  • فهم العملية من خلال حلول خطوة بخطوة.