حاسبة التباين

آلة حساب التباين: شرح ودليل الاستخدام

تعتبر آلة حساب التباين أداة تفاعلية مصممة لحساب تباين حقل متجه ثلاثي الأبعاد. توفر طريقة بديهية لحساب وتصوير تباين حقل متجه ( \mathbf{F}(x, y, z) )، مقدمةً كل من التمثيل الرمزي للتباين وتقييمه عند نقاط محددة. بالإضافة إلى ذلك، تولد الأداة تصورًا رسوميًا لحقل المتجهات لمساعدة المستخدمين على فهم سلوك الحقل بشكل أعمق.

ما هو التباين؟

التباين هو كمية عددية تقيس معدل انتشار حقل المتجهات أو تقاربه عند نقطة معينة. رياضيًا، يتم إعطاء تباين حقل المتجهات ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) بواسطة:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• إذا كان التباين إيجابيًا، فإن حقل المتجهات ينتشر عند تلك النقطة.
• إذا كان التباين سالبًا، فإن حقل المتجهات يتقارب عند تلك النقطة.
• إذا كان التباين صفرًا، يُقال إن الحقل صمامي عند تلك النقطة.

توفر هذه الآلة كل من التباين الرمزي وخيار تقييمه عدديًا عند نقاط محددة.

ميزات آلة حساب التباين

• التباين الرمزي: يحسب تلقائيًا المشتقات الجزئية لمكونات حقل المتجهات ويقوم بإنشاء معادلة التباين.
• تقييم النقطة: تقييم التباين عدديًا عند نقطة معينة ( (x, y, z) ).
• التصور الرسومي: يعرض تمثيلًا ثلاثي الأبعاد لحقل المتجهات باستخدام قدرات الرسم التفاعلي ثلاثي الأبعاد من Plotly.
• أمثلة منسدلة: تحميل أمثلة محددة مسبقًا من حقول المتجهات للاستكشاف بسرعة.
• معالجة الأخطاء: يضمن التعامل مع المدخلات غير الصالحة أو غير المكتملة بشكل سلس.

كيفية استخدام آلة حساب التباين

اتبع هذه الخطوات البسيطة لاستخدام الآلة بفعالية:

1. إدخال حقل المتجهات:
2. أدخل مكونات ( P(x, y, z) )، ( Q(x, y, z) )، و ( R(x, y, z) ) في صناديق الإدخال المناسبة.

3. على سبيل المثال:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. اختيار مثال:

5. استخدم قائمة منسدلة لتحميل أمثلة محددة مسبقًا من حقول المتجهات.

6. تحديد نقطة التقييم (اختياري):

7. إذا كنت ترغب في تقييم التباين عند نقطة معينة، أدخل قيم ( x )، ( y )، و ( z ) في الحقول المقابلة.

8. انقر على "احسب":

9. ستقوم الآلة بـ:

   • حساب التباين الرمزي.
   • تقييم التباين عند النقطة المحددة (إذا تم توفيرها).
   • عرض تحليل خطوة بخطوة للحساب.
   • توليد تصور ثلاثي الأبعاد لحقل المتجهات.

10. مسح المدخلات:

11. استخدم زر "مسح" لإعادة تعيين الآلة.

مثال توضيحي

مثال على حقل المتجهات:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. أدخل المكونات:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. انقر على "احسب". ستقوم الآلة بـ:

6. حساب المشتقات الجزئية:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. دمجها للعثور على: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. إذا تم توفير نقاط التقييم ( (x=1, y=1, z=0) )، سيتم تقييم النتيجة كالتالي: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. تصور حقل المتجهات ثلاثي الأبعاد الذي تم إنشاؤه على الرسم.

الأسئلة الشائعة

1. ما هي تنسيقات الإدخال المدعومة لمكونات حقل المتجهات؟

تدعم الآلة الدوال من حيث ( x )، ( y )، و ( z ). تشمل الأمثلة: - الدوال متعددة الحدود: ( x^2, y^2 + z ) - الدوال المثلثية: ( \sin(xy), \cos(z) ) - الدوال الأسية: ( e^z, x \cdot e^y )

2. ماذا يحدث إذا لم أقدم نقطة تقييم؟

إذا لم يتم تحديد نقطة تقييم، ستعرض الآلة فقط معادلة التباين الرمزي.

3. هل يمكنني استخدام هذه الآلة لحقول المتجهات ثنائية الأبعاد؟

نعم، ببساطة اترك مكون ( R(x, y, z) ) فارغًا أو قم بتعيينه إلى صفر.

4. كيف يتم إنشاء تصور حقل المتجهات ثلاثي الأبعاد؟

تستخدم الآلة Plotly لإنشاء رسم تفاعلي لحقل المتجهات ثلاثي الأبعاد. يمثل كل سهم الاتجاه والحجم للحقل عند نقطة معينة.

5. ماذا لو كان هناك خطأ في مدخلي؟

تتحقق الآلة من الأخطاء مثل المكونات المفقودة أو التعبيرات غير الصالحة. ستوجهك رسالة خطأ وصفية لإصلاح المشكلة.

ملخص

تسهل آلة حساب التباين عملية تحليل حقول المتجهات من خلال أتمتة حساب التباين وتوفير تمثيل بصري واضح. سواء كنت طالبًا أو معلمًا أو محترفًا، فإن هذه الأداة مثالية للحصول على رؤى حول سلوك حقول المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ابدأ الاستكشاف الآن لاستكشاف الإمكانيات الكاملة لهذه الآلة القوية!