آلة حساب التوزيع الهندسي

الفئة: الإحصائيات
- يونيو 07, 2025
| |

احسب دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) ، ودالة التوزيع التراكمي (CDF) ، والمتوسط ، والتباين ، وإحصائيات أخرى للتوزيع الهندسي مع احتمال النجاح p.

إدخال المعلمات

خيارات الحساب

خيارات العرض

حول التوزيع الهندسي

يصف التوزيع الهندسي عدد التجارب اللازمة لتحقيق النجاح الأول في سلسلة من التجارب المستقلة من نوع برنولي، كل منها بنفس احتمال النجاح p.

نوعان شائعان
  • عدد التجارب: يحسب العدد الإجمالي للتجارب حتى (بما في ذلك) النجاح الأول. المجال: x ∈ {1, 2, 3, ...}
  • عدد الفشل: يحسب فقط الفشل قبل النجاح الأول. المجال: x ∈ {0, 1, 2, ...}

يتم استخدام كلا النوعين في الممارسة العملية، لذا من المهم توضيح أيهما تعمل به.

الخصائص الرئيسية
  • خاصية عدم الذاكرة: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
  • المتوسط (القيمة المتوقعة): E[X] = 1/p (التجارب) أو (1-p)/p (الفشل)
  • التباين: Var(X) = (1-p)/p² (كلا النسختين)
  • الوضع: دائمًا 1 (التجارب) أو 0 (الفشل)
  • الانحراف: (2-p)/√(1-p) > 0، مما يدل على انحراف إلى اليمين
التطبيقات

يتم استخدام التوزيع الهندسي بشكل شائع لنمذجة:

  • عدد المحاولات اللازمة لتحقيق النجاح
  • وقت الانتظار حتى حدوث الحدث الأول
  • مراقبة الجودة (عدد العناصر التي تم فحصها حتى العثور على عيب)
  • اختبار الموثوقية (عدد التجارب حتى فشل المعدات)
  • ألعاب الحظ (عدد الرميات حتى حدوث نتيجة معينة)
  • نمذجة عمليات اكتساب العملاء أو التحويل
العلاقة بالتوزيعات الأخرى
  • التوزيع الهندسي هو حالة خاصة من التوزيع الثنائي السالب حيث r = 1 (نجاح واحد).
  • إنه النظير المنفصل للتوزيع الأسي المستمر.
  • مثل التوزيع الأسي، هو التوزيع المنفصل الوحيد الذي لا ذاكرة له.

ما هي التوزيع الهندسي؟

التوزيع الهندسي هو توزيع احتمالي منفصل يقوم بنمذجة عدد التجارب المطلوبة لتحقيق النجاح الأول في سلسلة من تجارب برنولي المستقلة، حيث تحتوي كل تجربة على نتيجتين محتملتين (نجاح أو فشل). يُستخدم على نطاق واسع في الإحصاءات لتحليل العمليات التي تحدث فيها الأحداث حتى يتم ملاحظة نجاح محدد.

هناك نوعان من التوزيعات الهندسية:

  • النوع 1: \( X \) هو العدد الإجمالي للتجارب حتى وضمن النجاح الأول.
  • النوع 2: \( X \) هو عدد الإخفاقات حتى النجاح الأول (باستثناء تجربة النجاح).

غرض آلة حاسبة التوزيع الهندسي

تم تصميم هذه الآلة الحاسبة لمساعدة المستخدمين في حساب الاحتمالات التالية للاحتمال المحدد للنجاح (\( p \)) وعدد التجارب (\( X \)):

  • \( P(X = x) \): احتمال حدوث النجاح في تجربة معينة.
  • \( P(X \leq x) \): الاحتمال التراكمي لحدوث النجاح ضمن \( x \) تجارب.

توفر الآلة الحاسبة حسابات مفصلة خطوة بخطوة لكلا النوعين من التوزيعات الهندسية، مما يسهل على المستخدمين فهم وحل المشكلات ذات الصلة.

الميزات الرئيسية للآلة الحاسبة

  • دعم الوضع المزدوج: يسمح للمستخدمين بالاختيار بين نوعين من التوزيعات الهندسية.
  • نتائج دقيقة: تحسب الاحتمالات الدقيقة والتراكمية بدقة.
  • شرح خطوة بخطوة: توفر حسابات مفصلة لمساعدة المستخدمين على فهم العملية.
  • واجهة سهلة الاستخدام: حقول إدخال بسيطة وقائمة منسدلة بديهية لاختيار نوع التوزيع.
  • معالجة الأخطاء في الوقت الحقيقي: تنبه المستخدمين إلى المدخلات غير الصالحة وتوجههم لتصحيحها.

كيفية استخدام آلة حاسبة التوزيع الهندسي

اتبع هذه الخطوات لاستخدام الآلة الحاسبة بفعالية:

  1. أدخل احتمال النجاح (\( p \)): أدخل قيمة بين 0 و 1 (على سبيل المثال، 0.5 لـ 50%).
  2. أدخل رقم التجربة (\( X \)): قدم رقم التجربة كعدد صحيح موجب (على سبيل المثال، 3).
  3. اختر نوع التوزيع: استخدم القائمة المنسدلة لتحديد ما إذا كان \( X \) يتضمن النجاح الأول أو يحسب فقط الإخفاقات قبل النجاح الأول.
  4. اضغط على حساب: اضغط على زر "احسب" لحساب النتائج وعرض الشرح خطوة بخطوة.
  5. مسح المدخلات: استخدم زر "مسح" لإعادة تعيين المدخلات وبدء حساب جديد.

تطبيقات التوزيع الهندسي

يستخدم التوزيع الهندسي بشكل شائع في مجالات متنوعة، بما في ذلك:

  • مراقبة الجودة: لتحديد احتمال اكتشاف عنصر معيب أثناء الفحص.
  • تحليلات الرياضة: لنمذجة احتمال تسجيل فريق في لعبة معينة.
  • دعم العملاء: للتنبؤ بعدد المكالمات اللازمة لحل مشكلة.
  • المالية: لتقدير عدد الاستثمارات المطلوبة لتحقيق ربح.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

  • ماذا يمثل احتمال النجاح (\( p \))؟
    احتمال النجاح (\( p \)) هو احتمال النجاح في تجربة واحدة. يجب أن تكون قيمة بين 0 و 1.
  • هل يمكن أن يكون رقم التجربة (\( X \)) سالبًا؟
    لا، يجب أن يكون \( X \) عددًا صحيحًا موجبًا، حيث يمثل عدد التجارب أو الإخفاقات.
  • ما الفرق بين النوعين من التوزيعات؟
    في النوع 1، يتضمن \( X \) تجربة النجاح. في النوع 2، يحسب \( X \) فقط الإخفاقات قبل النجاح.
  • كيف أفسر النتائج؟
    تظهر النتائج احتمال تحقيق النجاح في تجربة معينة (\( P(X = x) \)) والاحتمال التراكمي للنجاح ضمن \( X \) تجارب (\( P(X \leq x) \)).
  • ماذا يحدث إذا أدخلت مدخلات غير صالحة؟
    ستعرض الآلة الحاسبة رسالة خطأ وتوجهك لتصحيح المدخلات.