آلة حساب توزيع ثنائي

الفئة: الإحصائيات
- أكتوبر 13, 2025
| |

احسب دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) ، ودالة التوزيع التراكمي (CDF) ، والمتوسط ، والتباين ، وإحصائيات أخرى لتوزيع ثنائي الحدود مع المعلمات n (عدد التجارب) و p (احتمال النجاح).

مدخلات المعلمات

خيارات الحساب

خيارات العرض

حول توزيع ثنائي الحدود

توزيع ثنائي الحدود هو توزيع احتمالي منفصل يقوم بنمذجة عدد النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة، كل منها بنفس احتمال النجاح.

الخصائص الرئيسية
  • النطاق: x ∈ {0, 1, 2, ..., n}
  • المتوسط: μ = n × p
  • التباين: σ² = n × p × (1-p)
  • الوضع: ⌊(n+1)×p⌋ أو ⌊(n+1)×p-1⌋
  • الانحراف: (1-2p)/√(n×p×(1-p))
متطلبات توزيع ثنائي الحدود
  1. عدد ثابت من التجارب (n)
  2. كل تجربة مستقلة
  3. كل تجربة لها نتيجتان محتملتان فقط (نجاح/فشل)
  4. احتمال النجاح (p) ثابت لجميع التجارب
التطبيقات

يتم استخدام توزيع ثنائي الحدود في العديد من المجالات بما في ذلك:

  • مراقبة الجودة (عدد العناصر المعيبة في دفعة)
  • الطب (نجاح/فشل العلاجات)
  • الانتخابات واستطلاعات الرأي (نسبة الناخبين لمرشح)
  • الرياضة (الانتصارات/الخسائر في سلسلة من المباريات)
  • علم الوراثة (وراثة الصفات)
التقريب الطبيعي

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n، يمكن تقريب توزيع ثنائي الحدود بواسطة توزيع طبيعي بمتوسط μ = n×p وتباين σ² = n×p×(1-p). يعمل هذا التقريب بشكل جيد عندما يكون كل من n×p و n×(1-p) أكبر من 5.

ما هي توزيع ثنائي الحدين؟

توزيع ثنائي الحدين هو توزيع احتمالي يُستخدم لنمذجة عدد النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة لتجربة ثنائية. يمكن أن تسفر كل تجربة عن نجاح أو فشل، وتبقى احتمالية النجاح ثابتة عبر التجارب. يتم تحديد التوزيع بواسطة معلمين:

  • \( n \): عدد التجارب.
  • \( p \): احتمالية النجاح لكل تجربة.

احتمالية ملاحظة بالضبط \( k \) نجاحات تُعطى بالصيغة:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

هنا، \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) هو معامل ثنائي الحدين، الذي يحسب عدد الطرق لاختيار \( k \) نجاحات من \( n \) تجربة.

غرض آلة حاسبة توزيع ثنائي الحدين

تُبسط آلة حاسبة توزيع ثنائي الحدين حساب احتمالات ثنائي الحدين. تم تصميمها لتوفير الوقت وتقليل الأخطاء، مما يجعلها مثالية للطلاب وعلماء الإحصاء والمحترفين الذين يعملون مع الاحتمالات. تقوم هذه الأداة بحساب احتمالية حدوث بالضبط \( k \) نجاحات في \( n \) تجربة مع شروحات مفصلة خطوة بخطوة لتعزيز الفهم.

الميزات الرئيسية للآلة الحاسبة

  • نتائج دقيقة: تحسب احتمالات ثنائي الحدين باستخدام الصيغة الدقيقة.
  • شرح خطوة بخطوة: توفر تفصيلًا للحسابات، بما في ذلك معامل ثنائي الحدين، وقوى \( p \)، والاحتمالية النهائية.
  • تصميم سهل الاستخدام: حقول إدخال بسيطة للتجارب، والنجاحات، واحتمالية النجاح.
  • معالجة الأخطاء: تعرض رسائل واضحة للإدخالات غير الصالحة أو القيم خارج النطاق.

كيفية استخدام آلة حاسبة توزيع ثنائي الحدين

اتبع هذه الخطوات لحساب احتمالات ثنائي الحدين:

  1. أدخل عدد التجارب (\( n \)): حدد العدد الإجمالي للتجارب كعدد صحيح موجب.
  2. أدخل عدد النجاحات (\( k \)): أدخل العدد المطلوب من النجاحات كعدد صحيح موجب. تأكد من أن \( k \leq n \).
  3. أدخل احتمالية النجاح (\( p \)): حدد احتمالية النجاح كعدد عشري بين 0 و 1 (على سبيل المثال، 0.5 لـ 50%).
  4. اضغط على حساب: اضغط على زر حساب لحساب الاحتمالية.
  5. عرض النتائج: ستعرض الآلة الحاسبة الاحتمالية وخطوات الحساب التفصيلية.
  6. مسح الإدخالات: استخدم زر مسح لإعادة تعيين الإدخالات وإجراء حساب جديد.

لماذا تستخدم هذه الآلة الحاسبة؟

تعتبر هذه الآلة الحاسبة أداة قوية لحساب احتمالات ثنائي الحدين بسرعة ودقة. سواء كنت طالبًا يتعلم الاحتمالات، أو معلمًا يشرح المفهوم، أو محترفًا يحلل البيانات، فإن الأداة تُبسط العملية وتضمن نتائج دقيقة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

  • ما هي تجربة ثنائية الحدين؟
    تجربة ثنائية الحدين هي تجربة إحصائية تتكون من \( n \) تجارب مستقلة، حيث تحتوي كل تجربة على نتيجتين محتملتين فقط: النجاح أو الفشل.
  • هل يمكنني استخدام هذه الآلة الحاسبة للاحتمالات التي تزيد عن 1؟
    لا، يجب أن تكون احتمالية النجاح (\( p \)) دائمًا بين 0 و 1.
  • ماذا يحدث إذا كان \( k > n \)؟
    إذا كان \( k > n \)، ستعرض الآلة الحاسبة خطأ، حيث لا يمكن أن يتجاوز عدد النجاحات عدد التجارب.
  • هل تتعامل الآلة الحاسبة مع الاحتمالات العشرية؟
    نعم، يمكنك إدخال الاحتمالات كأعداد عشرية (على سبيل المثال، 0.25 لـ 25%).
  • ماذا يمثل الناتج؟
    يمثل الناتج احتمالية ملاحظة بالضبط \( k \) نجاحات في \( n \) تجربة بالنظر إلى احتمالية النجاح المحددة.