آلة تحويل الأعداد المركبة إلى الشكل القطبي

ما هو العدد المركب في الشكل القطبي؟

العدد المركب هو عدد يحتوي على جزء حقيقي وجزء تخيلي، وعادة ما يُكتب في الشكل \( z = a + bi \)، حيث \( a \) هو الجزء الحقيقي، و\( b \) هو الجزء التخيلي، و\( i \) يمثل الوحدة التخييلية (\( i^2 = -1 \)). تحويل العدد المركب إلى الشكل القطبي يتضمن التعبير عنه من حيث مقداره (\( r \)) وزاويته (\( \theta \)):

\[ z = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \]

هنا:

• \( r \)، المقدار، يمثل المسافة من الأصل إلى النقطة على المستوى المركب.
• \( \theta \)، الحجة أو الزاوية، هي الزاوية بين المحور الحقيقي الموجب والخط الذي يربط الأصل بالنقطة.

الشكل القطبي مفيد بشكل خاص في الضرب والقسمة والأسس للأعداد المركبة.

غرض آلة حاسبة تحويل العدد المركب إلى الشكل القطبي

تسهل هذه الآلة الحاسبة عملية تحويل العدد المركب من الشكل المستطيل (\( a + bi \)) إلى الشكل القطبي (\( r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \)). تحسب المقدار (\( r \)) والزاوية (\( \theta \)) وتقدم شروحات خطوة بخطوة. بالإضافة إلى ذلك، تصور العدد المركب على المستوى المركب لتعزيز الفهم.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

اتبع هذه الخطوات لاستخدام الآلة الحاسبة:

1. أدخل العدد المركب:
   • أدخل الجزء الحقيقي في الحقل الأول (مثل: 3).
   • أدخل الجزء التخيلي في الحقل الثاني (مثل: 4).
2. انقر على "تحويل": ستقوم الآلة الحاسبة بمعالجة المدخلات وعرض:
   • المقدار (\( r \)).
   • الزاوية (\( \theta \)) بالدرجات والراديان.
   • تمثيل الشكل القطبي (\( r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \)).
   • تمثيل الشكل الأسّي (\( r e^{i\theta} \)).
3. راجع الخطوات: تقدم الآلة الحاسبة شرحًا تفصيليًا خطوة بخطوة حول كيفية حساب المقدار والزاوية.
4. تصور العدد المركب: تقوم الآلة الحاسبة برسم العدد المركب على المستوى المركب لفهم أفضل.
5. انقر على "مسح": لإعادة تعيين الحقول والنتائج، انقر على زر "مسح".

ميزات الآلة الحاسبة

تقدم آلة حاسبة تحويل العدد المركب إلى الشكل القطبي الميزات التالية:

• تدعم جميع الأعداد الحقيقية والتخييلية، بما في ذلك القيم الموجبة والسالبة والصفر.
• تعرض كل من الأشكال القطبية والأسية للعدد المركب.
• توفر حسابات خطوة بخطوة للمقدار (\( r \)) والزاوية (\( \theta \)).
• ترسم العدد المركب على رسم بياني لتصور موقعه في المستوى المركب.
• تعالج المدخلات غير الصالحة برسائل خطأ واضحة.

مثال على الاستخدام

افترض أنك أدخلت العدد المركب:

• الجزء الحقيقي: 3
• الجزء التخيلي: 4

ستقوم الآلة الحاسبة بـ:

1. حساب المقدار (\( r \)): \[ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
2. تحديد الزاوية (\( \theta \)) بالراديان: \[ \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \, \text{راديان} \]
3. تحويل الزاوية إلى درجات (اختياري): \[ \theta = 0.93 \, \text{راديان} \times \frac{180}{\pi} \approx 53.13^\circ \]
4. عرض الشكل القطبي: \[ z = 5 (\cos(0.93) + i \sin(0.93)) \]
5. عرض الشكل الأسّي: \[ z = 5 e^{i0.93} \]
6. رسم العدد المركب على المستوى المركب.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

• ما هو الشكل القطبي للعدد المركب؟ الشكل القطبي يعبر عن العدد المركب من حيث مقداره (\( r \)) وزاويته (\( \theta \)): \( z = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \).
• ما هو الشكل الأسّي؟ الشكل الأسّي للعدد المركب هو \( z = r e^{i\theta} \)، والذي يتم اشتقاقه من صيغة أويلر.
• لماذا الشكل القطبي مفيد؟ الشكل القطبي يبسط العمليات مثل الضرب والقسمة والأسس للأعداد المركبة.
• ماذا يحدث إذا كان الجزء الحقيقي أو التخيلي صفرًا؟ إذا كان الجزء الحقيقي أو التخيلي صفرًا، فإن الزاوية (\( \theta \)) تتكيف وفقًا لذلك (مثلًا، \( \theta = 90^\circ \) إذا كان العدد يقع على المحور التخيلي).
• هل يمكنني إدخال قيم سالبة؟ نعم، الآلة الحاسبة تتعامل مع كل من القيم الموجبة والسالبة للأجزاء الحقيقية والتخييلية.
• ماذا لو أدخلت أرقامًا غير صالحة؟ تعرض الآلة الحاسبة رسالة خطأ وتطلب منك إدخال أرقام صالحة.

لماذا تستخدم هذه الآلة الحاسبة؟

تزيل هذه الآلة الحاسبة الحاجة إلى الحسابات اليدوية، مما يوفر الوقت والجهد. تضمن الدقة في العثور على الأشكال القطبية والأسية للأعداد المركبة بينما تقدم شرحًا واضحًا لكل خطوة. سواء كنت طالبًا أو معلمًا أو محترفًا، فإن هذه الأداة تبسط حسابات الأعداد المركبة وتعزز فهمك لتمثيلها الهندسي.