آلة حاسبة للأعداد المركبة

الفئة: الجبر الثاني
- سبتمبر 17, 2025
| |

تساعدك هذه الآلة الحاسبة على إجراء العمليات مع الأعداد المركبة بالشكل a + bi، حيث i هو الوحدة التخيلية.

إدخال الأعداد المركبة

+ i
+ i

العملية

+ جمع
− طرح
× ضرب
÷ قسمة
z* المرافق
|z| المقدار
arg(z) الزاوية
reiθ الصيغة القطبية
z2 مربع
√z الجذر التربيعي
zn أس
n√z الجذر النوني

خيارات العرض

حول الأعداد المركبة

الأعداد المركبة هي أعداد من الشكل a + bi، حيث a و b هما أعداد حقيقية، و i هي الوحدة التخيلية التي لها الخاصية i² = -1. إنها توسع مفهوم خط الأعداد أحادي البعد إلى المستوى المركب ثنائي الأبعاد.

العمليات الرئيسية مع الأعداد المركبة
  • الجمع: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • الطرح: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • الضرب: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • القسمة: (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
  • المرافق: (a + bi)* = a - bi
  • المقدار: |a + bi| = √(a² + b²)
  • الزاوية: arg(a + bi) = tan⁻¹(b/a) (مع التعديلات المناسبة للربع)
أشكال الأعداد المركبة
  • الصيغة المستطيلة: z = a + bi (الإحداثيات الكارتيزية)
  • الصيغة القطبية: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) (حيث r هو المقدار و θ هو الزاوية)
تطبيقات الأعداد المركبة

الأعداد المركبة ضرورية في:

  • الهندسة الكهربائية ومعالجة الإشارات
  • ميكانيكا الكم والفيزياء
  • نظرية التحكم وتحليل الأنظمة
  • ديناميكا السوائل والديناميكا الهوائية
  • رسومات الكمبيوتر والكسور

ما هو العدد المركب؟

العدد المركب هو عدد يتكون من جزئين:

  • جزء حقيقي: يُمثل كعدد عادي (مثل 3).
  • جزء تخيلي: يُمثل كعدد مضروب في i، حيث i هو الجذر التربيعي لـ -1.

يُكتب العدد المركب بالشكل:

a + bi

حيث:

  • a هو الجزء الحقيقي.
  • b هو معامل الجزء التخيلي.

على سبيل المثال:

  • 2 + 3i هو عدد مركب.
  • 5 + 0i هو عدد حقيقي (لا يوجد جزء تخيلي).
  • 0 + 4i هو عدد تخيلي بحت.

تطبيقات الأعداد المركبة

تُستخدم الأعداد المركبة في مجالات متنوعة:

  • الهندسة: تحليل الدوائر، معالجة الإشارات.
  • الرياضيات: حل المعادلات التربيعية، الفراكتلات.
  • الفيزياء: تمثيل الموجات والاهتزازات.

ميزات آلة حاسبة الأعداد المركبة

  • العمليات الحسابية الأساسية: إجراء الجمع والطرح والضرب والقسمة لعددين مركبين.
  • حساب المرافق: إيجاد مرافق العدد المركب.
  • المقدار: حساب مقدار العدد المركب.
  • تحويل الشكل القطبي: التعبير عن العدد المركب في إحداثيات قطبية.
  • المقلوب: حساب معكوس العدد المركب.
  • شرح خطوة بخطوة: رؤية خطوات مفصلة لكل عملية حسابية.

كيفية استخدام آلة حاسبة الأعداد المركبة

الخطوة 1: إدخال الأعداد المركبة

  • أدخل الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب الأول في الحقول المعنونة بـ العدد المركب 1.
  • أدخل الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب الثاني في الحقول المعنونة بـ العدد المركب 2.

الخطوة 2: اختيار العملية

  • اختر عملية من القائمة المنسدلة:
    • الجمع (+): يجمع العددين المركبين.
    • الطرح (-): يطرح العدد المركب الثاني من الأول.
    • الضرب (*): يضرب العددين المركبين باستخدام طريقة FOIL.
    • القسمة (/): يقسم العدد المركب الأول على الثاني.
    • المرافق: يجد مرافق العدد المركب الأول.
    • المقدار: يحسب مقدار العدد المركب الأول.
    • الشكل القطبي: يحول العدد المركب الأول إلى إحداثيات قطبية.
    • المقلوب: يحسب معكوس العدد المركب الأول.

الخطوة 3: اضغط على "احسب"

  • اضغط على زر "احسب" لإجراء العملية الحسابية. ستقوم الآلة الحاسبة بـ:
    • عرض النتيجة في قسم النتائج.
    • تقديم تحليل مفصل لكل خطوة حسابية.

الخطوة 4: مسح الحقول

  • اضغط على زر "مسح" لإعادة تعيين جميع الحقول وبدء عملية حسابية جديدة.

أمثلة حسابية

مثال 1: الجمع

الإدخال:

  • العدد المركب 1: 2 + 3i
  • العدد المركب 2: 4 + 5i
  • العملية: الجمع

الحساب:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

الناتج:

  • النتيجة: 6 + 8i

مثال 2: الشكل القطبي

الإدخال:

  • العدد المركب: 2 + 3i
  • العملية: الشكل القطبي

الحساب:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 راديان

الشكل القطبي = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

الناتج:

  • النتيجة: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي طريقة FOIL للأعداد المركبة؟

طريقة FOIL تعني:

  • F: ضرب الحدود الأولى.
  • O: ضرب الحدود الخارجية.
  • I: ضرب الحدود الداخلية.
  • L: ضرب الحدود الأخيرة.

لعددين مركبين (a + bi) و (c + di)، تُبسط FOIL عملية الضرب كما يلي:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

نظرًا لأن i^2 = -1، تصبح النتيجة:

(ac - bd) + (ad + bc)i

كيف يتم حساب المقدار للعدد المركب؟

المقدار (أو الحجم) لـ a + bi هو:

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

يمثل المسافة بين العدد المركب والأصل في المستوى المركب.

ما هو المرافق للعدد المركب؟

المرافق لـ a + bi هو a - bi. يتم الحصول عليه عن طريق عكس إشارة الجزء التخيلي.

ما هو الشكل القطبي للعدد المركب؟

الشكل القطبي لـ a + bi هو:

r(cos θ + i sin θ)

حيث:

  • r = sqrt(a^2 + b^2) (المقدار)
  • θ = tan-1(b/a) (الزاوية بالراديان)

هل يمكنني القسمة على الصفر مع الأعداد المركبة؟

لا، القسمة على الصفر غير معرفة لكل من الأعداد الحقيقية والمركبة. إذا كان العدد المركب الثاني هو 0 + 0i، ستعرض الآلة الحاسبة خطأ.

فوائد آلة حاسبة الأعداد المركبة

  • تعليمية: تفصل كل عملية إلى خطوات سهلة المتابعة.
  • دقيقة: تتعامل مع الحسابات المركبة بدقة.
  • متعددة الاستخدامات: تشمل عمليات متقدمة مثل الشكل القطبي وحساب المقدار.
  • سهلة الاستخدام: واجهة بسيطة لحسابات سريعة.

هذه الآلة الحاسبة مثالية للطلاب والمهندسين وأي شخص يعمل مع الأعداد المركبة!