آلة حاسبة لطريقة السيمبلكس

الفئة: الجبر والرياضيات العامة
- سبتمبر 13, 2025
| |

حل مشاكل البرمجة الخطية باستخدام طريقة السيمبلكس. تساعدك هذه الآلة الحاسبة على تحسين دالة الهدف مع مراعاة القيود، وإيجاد القيم المثلى لمتغيرات القرار الخاصة بك.

إعداد المشكلة

حول البرمجة الخطية

البرمجة الخطية هي تقنية رياضية تستخدم لتحسين دالة هدف خطية مع مراعاة قيود المساواة واللامساواة الخطية. لها تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة بما في ذلك الاقتصاد، الأعمال، التصنيع، والنقل.

المكونات الرئيسية لمشكلة البرمجة الخطية
  • متغيرات القرار: الكميات التي تحتاج إلى تحديدها.
  • دالة الهدف: معادلة خطية تحتاج إلى زيادة أو تقليل.
  • القيود: عدم المساواة أو المعادلات الخطية التي تحد من قيم متغيرات القرار.
  • شروط عدم السلبية: عادة ما يُطلب أن تكون متغيرات القرار غير سالبة.
تطبيقات البرمجة الخطية
  • تخطيط الإنتاج: تحديد التركيبة المثلى للمنتجات لزيادة الربح.
  • تخصيص الموارد: تخصيص الموارد المحدودة بكفاءة.
  • النقل واللوجستيات: تصميم طرق الشحن المثلى.
  • تحسين محفظة الاستثمار: اختيار الاستثمارات لزيادة العوائد أو تقليل المخاطر.
  • مشاكل الخلط: إيجاد الخلطات المثلى من المكونات أو المواد.
خطوات في طريقة السيمبلكس
  1. تحويل المشكلة إلى الشكل القياسي عن طريق إضافة متغيرات التراخي.
  2. تشكيل جدول سيمبلكس أولي.
  3. التحقق مما إذا كانت الحل الحالي مثاليًا. إذا كان كذلك، توقف.
  4. تحديد المتغيرات الداخلة والخارجة.
  5. إجراء عمليات صفية أولية للحصول على جدول جديد.
  6. تكرار الخطوات 3-5 حتى يتم العثور على حل مثالي.

ما هي طريقة سيمبلكس؟

طريقة سيمبلكس هي خوارزمية رياضية تستخدم لحل مشاكل البرمجة الخطية. إنها تقنية قوية لتحسين دالة هدف خطية تخضع لمجموعة من القيود الخطية من عدم المساواة أو المساواة. تجد الطريقة الحل الأمثل من خلال التكرار عبر الحلول الممكنة عند رؤوس المنطقة الممكنة حتى يتم تحقيق أفضل قيمة لدالة الهدف.

غالبًا ما تظهر مشاكل البرمجة الخطية في سيناريوهات العالم الحقيقي مثل تخصيص الموارد، جدولة الإنتاج، النقل، والمالية. توفر طريقة سيمبلكس نهجًا منهجيًا لحل هذه المشاكل بكفاءة.

ميزات آلة حاسبة طريقة سيمبلكس

  • تسمح للمستخدمين بإدخال دالة هدف خطية (مثل 3x_1 + 4x_2).
  • تدعم القيود من عدم المساواة والمساواة مع خيارات لـ ≤، =، و ≥.
  • تمكن المستخدمين من الاختيار بين أهداف التعظيم والتقليل.
  • تقدم طريقتين للحل: طريقة Big M وطريقة المرحلتين.
  • تعرض حسابات خطوة بخطوة، بما في ذلك الجداول الوسيطة والجدول النهائي.
  • تصور المنطقة الممكنة والحل الأمثل لمشاكل الأبعاد الثنائية.

كيفية استخدام آلة حاسبة طريقة سيمبلكس

  1. أدخل دالة الهدف في الحقل المقدم (مثل 3x_1 + 4x_2).
  2. حدد ما إذا كانت المشكلة هي مشكلة تعظيم أو تقليل عن طريق تحديد أو إلغاء تحديد مربع "تعظيم؟".
  3. أدخل القيود في شكل عدم مساواة أو مساواة خطية. على سبيل المثال:
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    استخدم زر "+ إضافة قيد" لإضافة قيود إضافية.
  4. اختر طريقة الحل (طريقة Big M أو طريقة المرحلتين) من القائمة المنسدلة.
  5. انقر على "احسب" لحل المشكلة. ستظهر النتائج، بما في ذلك الحل الأمثل، الجدول النهائي، والتصور.
  6. إذا كنت ترغب في إعادة تعيين الحقول والبدء من جديد، انقر على زر "مسح".

مثال على الاستخدام

الهدف: تعظيم \(3x_1 + 4x_2\)

القيود:

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

الخطوات:

  • قم بتحويل عدم المساواة إلى مساواة عن طريق إضافة متغيرات الفائض \(s_1\) و \(s_2\).
  • قم بإعداد الجدول الأولي لطريقة سيمبلكس مع معاملات المتغيرات والقيود.
  • قم بحل الجدول بشكل تكراري عن طريق التدوير حتى يتم الوصول إلى الحل الأمثل.
  • يتم عرض الحل النهائي مع القيمة القصوى لدالة الهدف.

النتيجة: \(x_1 = 20\)، \(x_2 = 30\)، والقيمة القصوى هي \(180\).

الأسئلة الشائعة

  • ما هي البرمجة الخطية؟
    البرمجة الخطية هي طريقة رياضية تستخدم لتحديد أفضل نتيجة ممكنة (مثل أقصى ربح أو أقل تكلفة) في نموذج رياضي معين حيث تكون العلاقات خطية.
  • ما هي طريقة Big M وطريقة المرحلتين؟
    تضيف طريقة Big M متغيرات اصطناعية بعقوبات كبيرة (يشار إليها بـ \(M\)) لضمان القابلية، بينما تحل طريقة المرحلتين المشكلة على مرحلتين: أولاً العثور على حل ممكن ثم تحسين دالة الهدف.
  • ماذا يفعل مربع الاختيار "تعظيم"؟
    تحديد هذا المربع يحل المشكلة كمشكلة تعظيم. إذا ترك غير محدد، تفترض الآلة الحاسبة مشكلة تقليل.
  • هل يمكن للآلة الحاسبة التعامل مع المشاكل غير الخطية؟
    لا، الآلة الحاسبة مصممة خصيصًا لمشاكل البرمجة الخطية حيث تكون كل من دالة الهدف والقيود خطية.
  • ماذا يحدث إذا كانت المشكلة غير محدودة؟
    إذا كانت الحلول غير محدودة، ستعرض الآلة الحاسبة رسالة تشير إلى أن المشكلة لا تحتوي على حل أمثل نهائي.

فوائد استخدام آلة حاسبة طريقة سيمبلكس

  • توفير الوقت من خلال أتمتة الحسابات اليدوية المملة.
  • تقديم تحليل خطوة بخطوة، مما يجعلها أداة تعليمية قيمة للطلاب.
  • تصور المناطق الممكنة والحلول لفهم أفضل.
  • التعامل مع المشاكل المعقدة بكفاءة مع قيود ومتغيرات متعددة.