آلة التقريب التربيعي

ما هو التقريب التربيعي؟

التقريب التربيعي هو طريقة تُستخدم لتقريب سلوك دالة ( f(x) ) بالقرب من نقطة معينة ( x_0 ). هذه التقنية توسع الدالة إلى شكل تربيعي:

[ Q(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 ]

إليك كيف تساهم المصطلحات: - ( f(x_0) ): قيمة الدالة عند ( x_0 ). - ( f'(x_0) ): ميل خط المماس عند ( x_0 )، والذي يمثل الحد الخطي. - ( f''(x_0) ): انحناء الدالة، مما يساهم في الحد التربيعي.

تكون هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص في السيناريوهات التي تكون فيها الدالة معقدة جدًا للتقييم المباشر أو لتقريب الدوال غير الخطية.

كيفية استخدام آلة حاسبة التقريب التربيعي

تُبسط آلة حاسبة التقريب التربيعي عملية إيجاد تقريب تربيعي لدالة معينة ( f(x) ) عند نقطة محددة ( x_0 ). اتبع هذه الخطوات:

1. أدخل الدالة:

2. أدخل دالتك ( f(x) ) في مربع الإدخال المخصص. على سبيل المثال: sqrt(x) + 5/sqrt(x).

3. حدد النقطة:

4. أدخل النقطة ( x_0 ) حيث تحتاج إلى التقريب. على سبيل المثال: 9.

5. احسب:

6. انقر على زر احسب. ستقوم الآلة الحاسبة بحساب التقريب التربيعي، مع عرض خطوات مفصلة والنتيجة النهائية في كل من الأشكال الموسعة والمبسطة.

7. عرض الحل:

8. تحقق من الحل، الذي يتضمن:

   • قيمة الدالة ( f(x_0) )،
   • المشتقات الأولى والثانية ( f'(x_0) ) و ( f''(x_0) )،
   • صيغة التقريب التربيعي وشكلها المبسط.

9. مسح الإدخال:

10. لإعادة تعيين الحقول، انقر على زر مسح.

ميزات الآلة الحاسبة

• دقة كسرية: تُعرض جميع النتائج في شكل كسري من أجل الوضوح والدقة.
• حل خطوة بخطوة: فهم كل خطوة من عملية الحساب.
• واجهة سهلة الاستخدام: حقول الإدخال للدالة والنقطة سهلة الاستخدام.
• معالجة الأخطاء: توفر رسائل خطأ مفصلة إذا كان الإدخال غير صالح.

مثال

الإدخال:

• الدالة: ( f(x) = \sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} )
• النقطة: ( x_0 = 9 )

الإخراج:

1. الخطوة 1: احسب ( f(x_0) ): [ f(9) = \frac{14}{3} ]

2. الخطوة 2: احسب المشتقة الأولى وقيمتها عند ( x_0 ): [ f'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{x}^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(9) = \frac{2}{27} ]

3. الخطوة 3: احسب المشتقة الثانية وقيمتها عند ( x_0 ): [ f''(x) = \frac{15}{4\sqrt{x}^5} - \frac{1}{4\sqrt{x}^3}, \quad f''(9) = \frac{1}{162} ]

4. صيغة التقريب التربيعي: [ Q(x) \approx \frac{14}{3} + \frac{2}{27}(x - 9) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{162}(x - 9)^2 ]

5. تبسيط: [ Q(x) \approx \frac{x^2}{324} + \frac{x}{54} + \frac{17}{4} ]

الأسئلة الشائعة

س: ما هو الغرض من التقريب التربيعي؟

ج: يُبسط التقريب التربيعي الدوال المعقدة من خلال تقريبها كحدود تربيعية بالقرب من نقطة اهتمام. يُستخدم عادة في حساب التفاضل والتكامل والتحسين.

س: هل يمكنني استخدام هذه الآلة الحاسبة لأي دالة؟

ج: نعم، طالما أن الدالة قابلة للاشتقاق حتى المشتقة الثانية عند النقطة المحددة ( x_0 ).

س: ماذا يحدث إذا أدخلت إدخالًا غير صالح؟

ج: توفر الآلة الحاسبة رسائل خطأ لإرشادك في تصحيح الإدخال.

س: لماذا تُعرض النتائج ككسور؟

ج: توفر الكسور قيمًا دقيقة، مما يضمن الدقة في الحسابات.

الخاتمة

تُعد آلة حاسبة التقريب التربيعي أداة قوية للطلاب والمعلمين والمحترفين الذين يحتاجون إلى تقريب دقيق للدوال. من خلال تقديم حلول خطوة بخطوة ومخرجات كسرية واضحة، تضمن هذه الآلة الحاسبة الدقة والفهم.

ابدأ الآن واستكشف كيف يمكن أن تُبسط التقريبات التربيعية تحدياتك الرياضية!