آلة التقريب الخطي

آلة حساب التقريب الخطي: تبسيط حساباتك

تعتبر آلة حساب التقريب الخطي أداة مفيدة تبسط عملية تقدير قيمة دالة بالقرب من نقطة معينة. تستخدم مفهوم التقريب الخطي، وهو فكرة رئيسية في حساب التفاضل، لتوفير تقدير سريع ودقيق لقيمة الدالة.

تشرح هذه المقالة ما هو التقريب الخطي، وكيف تعمل الآلة، وتتضمن أمثلة على كيفية استخدامها بفعالية.

ما هو التقريب الخطي؟

التقريب الخطي هو تقنية تستخدم في حساب التفاضل لتقدير قيمة دالة بالقرب من نقطة معينة. يعتمد على الخط المماس للدالة عند تلك النقطة. يعمل الخط المماس كتمثيل خطي بسيط للدالة، مما يجعل من السهل حساب القيم التقريبية.

صيغة التقريب الخطي هي: [ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) ] حيث: - ( f(a) ) هي قيمة الدالة عند النقطة ( a )، - ( f'(a) ) هو مشتق الدالة عند ( a )، - ( x ) هو النقطة التي تريد تقدير الدالة عندها.

يعتبر التقريب الخطي مفيدًا بشكل خاص لتقدير قيم الدوال التي يصعب أو تستغرق وقتًا طويلاً لحسابها مباشرة.

ميزات الآلة

• إدخال الدالة: أدخل أي دالة رياضية، مثل ( x^2 + 3x ) أو ( \sin(x) ).
• نقطة التقريب: حدد قيمة ( a )، النقطة التي يتم عندها تقريب الدالة.
• نقطة التقريب الاختيارية: تقييم القيمة التقريبية للدالة عند ( x ) محدد.
• حل خطوة بخطوة: يعرض صيغة التقريب الخطي، اشتقاقها، والنتيجة النهائية المبسطة.
• تصميم متوافق مع الهواتف المحمولة: تصميم متجاوب بالكامل لاستخدام سلس على أي جهاز.

كيفية استخدام الآلة

دليل خطوة بخطوة

1. أدخل الدالة:
2. في حقل الإدخال المسمى أدخل الدالة ( f(x) ):، اكتب الدالة التي تريد تقريبها.

3. مثال: ( x^2 + 3x ) أو ( \sin(x) ).

4. قدم نقطة التقريب ((a)):

5. أدخل قيمة ( a )، النقطة التي يتم عندها حساب الخط المماس.

6. مثال: بالنسبة لـ ( a = 2 )، اكتب "2" في حقل نقطة التقريب.

7. اختياري: أدخل نقطة التقريب ((x)):

8. إذا كنت تريد العثور على القيمة التقريبية للدالة عند نقطة معينة ( x )، أدخل القيمة في حقل نقطة التقريب.
9. مثال: بالنسبة لـ ( x = 2.1 )، اكتب "2.1".

10. اترك هذا الحقل فارغًا إذا لم تكن بحاجة إلى التقييم.

11. اضغط على حساب:

12. ستقوم الآلة بحساب:

    • ( f(a) )، قيمة الدالة عند ( a )،
    • ( f'(a) )، مشتق الدالة عند ( a )،
    • صيغة التقريب الخطي،
    • التقريب الخطي المبسط.

13. عرض النتائج:

14. تشمل النتائج حلاً خطوة بخطوة والإجابة النهائية.

15. مسح المدخلات:

16. لإعادة تعيين الحقول وبدء حساب جديد، اضغط على زر مسح.

أمثلة على الحسابات

المثال 1: تقريب ( f(x) = x^2 + 3x ) عند ( a = 2 )، ( x = 2.1 )

1. الدالة: ( f(x) = x^2 + 3x )
2. نقطة التقريب: ( a = 2 )
3. صيغة التقريب الخطي:
   التعويض في الصيغة:
   [ L(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) ]
4. احسب ( f(2) = 2^2 + 3(2) = 10 ).
5. احسب ( f'(x) = 2x + 3 )، لذا ( f'(2) = 2(2) + 3 = 7 ).
6. التعويض:
   [ L(x) = 10 + 7(x - 2) ]

7. مبسط:
   [ L(x) = 7x - 4 ]

8. الإجابة النهائية: عند ( x = 2.1 ):
   [ L(2.1) = 7(2.1) - 4 = 10.7 ]

المثال 2: تقريب ( f(x) = \sin(x) ) عند ( a = \pi/4 )، ( x = \pi/3 )

1. الدالة: ( f(x) = \sin(x) )
2. نقطة التقريب: ( a = \pi/4 )
3. صيغة التقريب الخطي:
   التعويض في الصيغة:
   [ L(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) ]
4. احسب ( f(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} ).
5. احسب ( f'(x) = \cos(x) )، لذا ( f'(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} ).
6. التعويض:
   [ L(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) ]
7. مبسط:
   [ L(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}x + C \text{ (حيث يتم تبسيط ( C ) لمزيد من النتائج النظيفة).} ]

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو الغرض من التقريب الخطي؟

يوفر التقريب الخطي وسيلة سهلة لتقدير قيمة دالة بالقرب من نقطة معينة باستخدام الخط المماس كبديل خطي.

متى يجب أن أستخدم هذه الآلة؟

استخدم هذه الآلة عندما: - تحتاج إلى تقدير قيمة دالة بالقرب من نقطة معينة. - تريد تحليل خطوة بخطوة لعملية التقريب الخطي.

هل يمكنني استخدام الدوال المثلثية أو الأسية؟

نعم! تدعم الآلة الدوال المثلثية (مثل ( \sin(x) )، ( \cos(x) )) والدوال الأسية (مثل ( e^x )، ( \ln(x) )).

هل تقوم الآلة بتبسيط النتيجة؟

نعم، تقوم الآلة بتبسيط صيغة التقريب الخطي بالكامل لتسهيل التفسير.

هل أحتاج إلى إدخال نقطة التقريب ((x))؟

لا، هذا الحقل اختياري. إذا ترك فارغًا، ستظهر الآلة فقط صيغة الخط المماس دون تقييم عند نقطة معينة.

تعتبر هذه آلة حساب التقريب الخطي مثالية للطلاب والمحترفين الذين يتطلعون إلى تبسيط وفهم عملية تقريب الدوال. جربها لترى كيف يمكن أن تجعل حساب التفاضل أسهل!