آلة حساب المشتقات الضمنية

الفئة: التفاضل والتكامل
- أغسطس 05, 2025
| |

تجد هذه الآلة الحاسبة المشتقة dy/dx للوظائف الضمنية. أدخل المعادلة الخاصة بك من حيث x و y، وستقوم الآلة الحاسبة بحساب المشتقة باستخدام التفاضل الضمني.

أدخل الدالة الضمنية

خيارات العرض

حول التفاضل الضمني

التفاضل الضمني هو تقنية تُستخدم لإيجاد المشتقة لدالة ضمنية. على عكس الدوال الصريحة حيث يتم التعبير عن y مباشرة من حيث x (مثل y = f(x))، فإن الدوال الضمنية تحتوي على x و y مختلطين معًا (مثل f(x,y) = 0).

المفاهيم الرئيسية
  • قاعدة السلسلة: عند تفاضل حد يحتوي على y، يجب علينا استخدام قاعدة السلسلة، مضاعفًا بـ dy/dx
  • حل لـ dy/dx: بعد التفاضل، نقوم بإعادة ترتيب المعادلة لعزل dy/dx
  • التطبيقات: العديد من العلاقات في العلوم والهندسة تُعبر بشكل أكثر طبيعية كدوال ضمنية
أمثلة شائعة
  • الدائرة: x² + y² = r² تعطي dy/dx = -x/y
  • البيضاوي: x²/a² + y²/b² = 1 تعطي dy/dx = -(b²x)/(a²y)
  • الفراغ: xy = c تعطي dy/dx = -y/x

آلة حساب المشتقات الضمنية: الغرض والاستخدام

تساعد آلة حساب المشتقات الضمنية في حساب المشتقات للمعادلات التي تكون فيها المتغيرات التابعة والمستقلة مترابطة، بدلاً من أن تكون مفصولة بشكل صريح. توفر هذه الآلة حسابًا خطوة بخطوة ورؤية رسومية، مما يجعلها أداة ممتازة للطلاب والمحترفين.

ما هي المشتقة الضمنية؟

تستخدم المشتقة الضمنية عندما لا يتم حل المتغير التابع (مثل y) بشكل صريح من حيث المتغير المستقل (مثل x). بدلاً من ذلك، يتم تعريف العلاقة بين x و y بواسطة معادلة واحدة. تستخدم المشتقة الضمنية قاعدة السلسلة لحساب المشتقات لمثل هذه المعادلات.

على سبيل المثال: - المعادلة: x^2 + y^2 = 1 - الاشتقاق ضمنيًا بالنسبة لـ x: - d/dx(x^2) + d/dx(y^2) = d/dx(1) - 2x + 2y(dy/dx) = 0 - حل لـ dy/dx: - dy/dx = -x / y

الميزات الرئيسية للآلة

  • إدخال سهل الاستخدام: أدخل أي معادلة في شكل f(x, y) = g(x, y) وحدد المتغير الذي تريد الاشتقاق بالنسبة له.
  • قائمة من الأمثلة: أمثلة محملة مسبقًا للتعلم السريع والتجريب.
  • نتائج خطوة بخطوة: فهم كل مرحلة من عملية الاشتقاق الضمني.
  • رؤية رسومية: رسم الدالة الأصلية ومشتقتها لفهم أفضل.
  • تعامل ديناميكي: يدعم مجموعة واسعة من المعادلات والمتغيرات للمرونة.

كيفية استخدام آلة حساب المشتقات الضمنية

  1. إدخال المعادلة:
  2. في حقل "أدخل معادلة"، اكتب المعادلة التي تريد الاشتقاق منها. على سبيل المثال: x^2 + y^2 = 1.
  3. تحديد المتغير:
  4. أدخل المتغير الذي يجب أن يحدث الاشتقاق بالنسبة له، مثل x أو y.
  5. اختيار مثال:
  6. استخدم قائمة الأمثلة لملء المعادلة والمتغير تلقائيًا للتعلم السريع.
  7. احسب:
  8. انقر على زر "احسب" لحساب المشتقة الضمنية. ستظهر النتائج مع خطوات مفصلة ورسم بياني.
  9. مسح الحقول:
  10. استخدم زر "مسح" لإعادة تعيين المدخلات والبدء من جديد.

فوائد استخدام هذه الآلة

  • مساعدة تعليمية: احصل على فهم أعمق للاشتقاق الضمني من خلال تحليل خطوة بخطوة.
  • توفير الوقت: تقوم بأتمتة الحسابات المملة، مما يسمح لك بالتركيز على حل المشكلات والتحليل.
  • رؤية رسومية: تصور الدالة الأصلية ومشتقتها لتعزيز الفهم.

التطبيقات العملية

  • الفيزياء: تحليل العلاقات في الأنظمة ذات المتغيرات المعتمدة على بعضها البعض.
  • الهندسة: حل المعادلات المعقدة التي تحكم الأنظمة الديناميكية.
  • الرياضيات: دراسة المنحنيات والأشكال المعرفة ضمنيًا.

كيفية عمل الآلة

  1. إعادة تنظيم المعادلة:
  2. يتم إعادة ترتيب المعادلة إلى الشكل القياسي حيث f(x, y) - g(x, y) = 0.
  3. الاشتقاق:
  4. تطبق الأداة الاشتقاق الضمني باستخدام قاعدة السلسلة.
  5. التبسيط:
  6. يتم تبسيط المشتقة المحسوبة من أجل الوضوح وسهولة الاستخدام.
  7. الرسم البياني:
  8. يتم رسم المعادلة الأصلية ومشتقتها للرؤية.

مثال توضيحي

الإدخال:

  • المعادلة: x^2 + y^2 = 1
  • الاشتقاق بالنسبة لـ: x

الخطوات:

  1. إعادة ترتيب المعادلة:
  2. x^2 + y^2 - 1 = 0
  3. اشتقاق كلا الجانبين بالنسبة لـ x:
  4. 2x + 2y(dy/dx) = 0
  5. حل لـ dy/dx:
  6. dy/dx = -x / y

المخرجات:

  • المشتقة الضمنية:
  • dy/dx = -x / y

الرؤية:

يعرض الرسم البياني الدالة الأصلية x^2 + y^2 = 1 (دائرة) ومشتقتها الضمنية dy/dx.

الخاتمة

تبسط آلة حساب المشتقات الضمنية عملية الاشتقاق الضمني، مقدمة تفسيرات واضحة، وخطوات مفصلة، ورؤى رسومية. سواء كنت طالبًا يتعامل مع مسائل حساب التفاضل أو محترفًا يحل معادلات معقدة، فإن هذه الآلة هي مورد لا يقدر بثمن.