آلة حساب المشتقة الثانية

الفئة: التفاضل والتكامل
- أكتوبر 11, 2025
| |

احسب المشتقة الثانية لدالة بالنسبة لـ x. أدخل دالتك باستخدام الرموز الرياضية القياسية (مثل: x^2، sin(x)، e^x).

إدخال الدالة

خيارات العرض

عن المشتقات الثانية

تقيس المشتقة الثانية لدالة كيف تتغير سرعة تغير الدالة. وغالبًا ما يتم الإشارة إليها بـ f''(x) أو d²f/dx².

تطبيقات المشتقات الثانية
  • تحليل الانحناء: يحدد ما إذا كانت الدالة مقعرة لأعلى (f''(x) > 0) أو مقعرة لأسفل (f''(x) < 0).
  • نقاط الانعطاف: النقاط التي تتغير فيها انحناء الدالة تحدث عندما f''(x) = 0.
  • الفيزياء: تمثل التسارع في مسائل الحركة.
  • التحسين: تساعد في تحديد ما إذا كانت النقاط الحرجة هي أقصى أو أدنى.
  • المعادلات التفاضلية: أساسية في حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.
قواعد المشتقة الثانية الشائعة
  • قاعدة الثابت: إذا كانت f(x) = c، فإن f''(x) = 0
  • قاعدة القوة: إذا كانت f(x) = x^n، فإن f''(x) = n(n-1)x^(n-2)
  • الأسية: إذا كانت f(x) = e^x، فإن f''(x) = e^x
  • جيب: إذا كانت f(x) = sin(x)، فإن f''(x) = -sin(x)
  • جيب التمام: إذا كانت f(x) = cos(x)، فإن f''(x) = -cos(x)

فهم آلة حساب المشتقة الثانية

تعتبر آلة حساب المشتقة الثانية أداة بسيطة لكنها قوية مصممة لمساعدتك في حساب المشتقة الثانية لدالة معينة. توفر تفسيرات خطوة بخطوة، وتصور الدالة ومشتقاتها، وتساعد المستخدمين على فهم مفهوم المشتقة الثانية بشكل بديهي.

ما هي المشتقة الثانية؟

المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة لدالة ما. بينما تقيس المشتقة الأولى معدل تغير الدالة، تقيس المشتقة الثانية كيف يتغير هذا المعدل نفسه.

بعبارات عملية: - تخبرنا المشتقة الأولى عن الميل أو معدل التغير. - تخبرنا المشتقة الثانية عن الانحناء أو التسارع للدالة.

على سبيل المثال: - في الفيزياء، تعطي المشتقة الثانية للموقع بالنسبة للزمن التسارع. - في الاقتصاد، يمكن أن تشير المشتقة الثانية إلى ما إذا كان معدل التغير في تزايد أو تناقص.

رياضياً، إذا كانت f(x) هي الدالة الأصلية: 1. المشتقة الأولى هي f'(x) = d/dx [f(x)]. 2. المشتقة الثانية هي f''(x) = d/dx [f'(x)].

ميزات الآلة الحاسبة

  • حساب دقيق للمشتقات:

  • تحسب كل من المشتقة الأولى والثانية للدالة المدخلة.

  • تفسيرات خطوة بخطوة:

  • توفر خطوات مفصلة لإيجاد كلتا المشتقتين لتعزيز الفهم.

  • تصور الرسوم البيانية:

  • ترسم الدالة الأصلية، ومشتقتها الأولى، ومشتقتها الثانية للمقارنة.

  • أمثلة محملة مسبقاً:

  • تتضمن أمثلة شائعة مثل x^4 + e^x، sin(x) + x^3، و x^3 - x^2 + 2 لمساعدة المستخدمين على البدء.

  • تصميم تفاعلي:

  • يمكن للمستخدمين إدخال دوالهم الخاصة أو الاختيار من الأمثلة، مما يجعلها قابلة للتكيف مع احتياجات مختلفة.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

  1. أدخل دالة:

  2. اكتب الدالة التي ترغب بها في حقل الإدخال المسمى أدخل دالة. على سبيل المثال، يمكنك إدخال x^4 + e^x.

  3. اختر مثالاً (اختياري):

  4. إذا كنت ترغب في استكشاف الأمثلة المحملة مسبقاً، استخدم قائمة السحب. سيتحدث حقل الدالة تلقائياً.

  5. احسب:

  6. اضغط على زر احسب لحساب المشتقات الأولى والثانية. تشمل النتائج:

    • المشتقة الأولى.
    • المشتقة الثانية.
    • تفسيرات خطوة بخطوة لعملية التفاضل.

  7. عرض التصور:

  8. تقارن الرسوم البيانية بين الدالة الأصلية، والمشتقة الأولى، والمشتقة الثانية على مدى مجموعة من القيم.

  9. مسح الإدخال:

  10. انقر على زر مسح لإعادة تعيين الآلة الحاسبة وبدء حساب جديد.

أمثلة توضيحية

المثال 1: x^4 + e^x

  • المشتقة الأولى: 4x^3 + e^x
  • المشتقة الثانية: 12x^2 + e^x
  • الخطوات:
  • قم بتفاضل x^4 للحصول على 4x^3.
  • قم بتفاضل e^x للحصول على e^x.
  • اجمع للحصول على f'(x) = 4x^3 + e^x.
  • قم بتفاضل 4x^3 للحصول على 12x^2.
  • قم بتفاضل e^x للحصول على e^x.
  • اجمع للحصول على f''(x) = 12x^2 + e^x.

المثال 2: sin(x) + x^3

  • المشتقة الأولى: cos(x) + 3x^2
  • المشتقة الثانية: -sin(x) + 6x
  • الخطوات:
  • قم بتفاضل sin(x) للحصول على cos(x).
  • قم بتفاضل x^3 للحصول على 3x^2.
  • اجمع للحصول على f'(x) = cos(x) + 3x^2.
  • قم بتفاضل cos(x) للحصول على -sin(x).
  • قم بتفاضل 3x^2 للحصول على 6x.
  • اجمع للحصول على f''(x) = -sin(x) + 6x.

المثال 3: x^3 - x^2 + 2

  • المشتقة الأولى: 3x^2 - 2x
  • المشتقة الثانية: 6x - 2
  • الخطوات:
  • قم بتفاضل x^3 للحصول على 3x^2.
  • قم بتفاضل -x^2 للحصول على -2x.
  • اجمع للحصول على f'(x) = 3x^2 - 2x.
  • قم بتفاضل 3x^2 للحصول على 6x.
  • قم بتفاضل -2x للحصول على -2.
  • اجمع للحصول على f''(x) = 6x - 2.

لماذا تستخدم هذه الآلة الحاسبة؟

تجعل آلة حساب المشتقة الثانية من السهل حساب المشتقات وفهم أهميتها: - أداة تعليمية: - احصل على فهم أعمق لكيفية حساب المشتقات وتطبيقاتها العملية. - تمثيل رسومي: - تصور العلاقة بين الدالة الأصلية، ومشتقتها الأولى، ومشتقتها الثانية. - الراحة: - قم بإجراء حسابات سريعة دون جهد يدوي.