آلة مضاعفات لاغرانج
الفئة: التفاضل والتكاملاختياري.
أمثلة الإدخال
إليك بعض الأمثلة على المدخلات الصحيحة للآلة الحاسبة:
الدالة الهدف الخطية \( f(x, y, z) \):
- \( f(x, y, z) = 3x + 4y \) (تحسين ثنائي الأبعاد)
- \( f(x, y, z) = 3x + 4y + 5z \) (تحسين ثلاثي الأبعاد)
- \( f(x, y, z) = -2x + y \) (معاملات مختلفة)
قيد الدائرة \( g(x, y, z) = k \):
- \( g(x, y, z) = x^2 + y^2 = 25 \) (دائرة نصف قطرها 5)
- \( g(x, y, z) = x^2 + y^2 = 16 \) (دائرة نصف قطرها 4)
- \( g(x, y, z) = x^2 + y^2 = 1 \) (دائرة الوحدة)
ملاحظة: للحصول على أفضل النتائج، استخدم الدوال الهدف الخطية مع قيود الدائرة في مستوى xy.
آلة حساب مضاعفات لاغرانج: دليل شامل
تعتبر آلة حساب مضاعفات لاغرانج أداة قوية مصممة لمساعدتك في حل مشاكل تحسين القيود. سواء كنت تقوم بزيادة الأرباح أو تقليل التكاليف أو حل مشاكل تحسين رياضية، فإن هذه الآلة تبسط العملية من خلال أتمتة اشتقاق المعادلات اللازمة.
ما هي مضاعفات لاغرانج؟
مضاعفات لاغرانج هي تقنية رياضية تُستخدم للعثور على الحد الأقصى أو الحد الأدنى لدالة معينة مع وجود قيود واحدة أو أكثر.
كيف تعمل:
-
الدالة الهدف ((f(x, y, z))):
هذه هي الدالة التي تريد تحسينها (زيادة أو تقليل). -
معادلات القيود ((g(x, y, z))، (h(x, y, z))):
هذه هي الشروط التي يجب أن تلبيها الحلول. على سبيل المثال، قد تحتاج الحلول إلى أن تقع على دائرة أو ضمن سطح معين. -
الفكرة الرئيسية:
دمج الدالة الهدف والقيود في معادلة واحدة تُسمى لاغرانجيان. حل النظام الناتج من المعادلات للعثور على النقاط الحرجة حيث تصل الدالة إلى أقصى أو أدنى قيمة لها.
ميزات الآلة الحاسبة
-
يدعم الدوال الهدف الخطية والتربيعية:
مثال: (f(x, y, z) = 3x + 4y + z^2) -
يتعامل مع قيود الدائرة والكرة:
مثال: (g(x, y, z) = x^2 + y^2 = 25) أو (h(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 = 1) -
عرض الحلول في الوقت الحقيقي:
يعرض التدرجات والمعادلات والنقاط الحرجة بشكل ديناميكي. -
تكامل MathJax:
يعرض المعادلات بشكل جميل بصيغة LaTeX لسهولة القراءة. -
قسم أمثلة قابل للتوسيع:
يوفر مدخلات نموذجية لحالات الاستخدام الشائعة.
كيفية استخدام الآلة الحاسبة
الخطوة 1: إدخال الدالة الهدف
أدخل الدالة التي تريد تحسينها في حقل الدالة (f(x, y, z)). مثال:
- (3x + 4y) (لمشاكل ثنائية الأبعاد)
- (x^2 + y^2 + z^2) (لمشاكل ثلاثية الأبعاد)
الخطوة 2: إدخال القيود
قدم القيود في الحقول المقابلة:
- (g(x, y, z) = k): مثال: (x^2 + y^2 = 25)
- (h(x, y, z) = c): (اختياري) مثال: (x^2 + y^2 + z^2 = 1)
الخطوة 3: انقر على "احسب"
ستقوم الآلة الحاسبة بمعالجة مدخلاتك وعرض: - معادلة لاغرانجيان. - تدرجات الدالة الهدف والقيود. - النقاط الحرجة وقيمها المقابلة لـ (f(x, y, z)). - القيم القصوى والدنيا.
الخطوة 4: مسح المدخلات
انقر على "مسح الكل" لإعادة تعيين حقول الإدخال والنتائج.
أمثلة المدخلات
الدالة الهدف ((f(x, y, z))):
- (3x + 4y) (يزيد من مجموع (x) و (y))
- (x^2 + y^2 + z^2) (يقلل من مجموع المربعات)
القيود ((g(x, y, z) = k)):
- (x^2 + y^2 = 25) (دائرة بنصف قطر 5)
- (x^2 + y^2 + z^2 = 1) (كرة الوحدة)
قم بتوسيع قسم "عرض أمثلة المدخلات" في الآلة الحاسبة لمزيد من الأمثلة.
الأسئلة الشائعة (FAQ)
1. ما أنواع المشاكل التي يمكنني حلها باستخدام هذه الآلة الحاسبة؟
تعتبر هذه الآلة مثالية لمشاكل تحسين القيود في الأبعاد الثنائية أو الثلاثية. تشمل التطبيقات الشائعة: - زيادة الأرباح مع وجود قيود على الموارد. - تقليل المسافة مع البقاء على سطح معين.
2. كيف يجب أن أنسق مدخلاتي؟
- الدالة الهدف: استخدم مصطلحات خطية أو تربيعية، مثل (3x + 4y) أو (x^2 + y^2).
- القيود: تأكد من كتابتها بالشكل القياسي، مثل (x^2 + y^2 = 25).
3. هل تحل الآلة جميع أنواع القيود؟
حالياً، تدعم الآلة القيود المتساوية. يجب أن تكون القيود من الشكل (g(x, y, z) = k) أو (h(x, y, z) = c).
4. هل هناك أي قيود؟
نعم. الآلة: - لا تتحقق مما إذا كانت طريقة مضاعفات لاغرانج صالحة لمشكلتك. - تحل المشاكل عددياً، لذا فإن الحلول الرمزية الدقيقة ليست دائماً متاحة. - تتطلب مدخلات خطية أو تربيعية للحصول على أفضل النتائج.
5. ماذا لو حصلت على خطأ؟
تأكد من تنسيق مدخلاتك بشكل صحيح. على سبيل المثال: - استخدم (x^2 + y^2 - 25 = 0) بدلاً من (x^2 + y^2 = 25). - تأكد من أن الدالة الهدف تتضمن مصطلحات تتعلق بـ (x) أو (y) أو (z).
لماذا تستخدم آلة حساب مضاعفات لاغرانج؟
تسهل هذه الأداة عملية حل مشاكل تحسين معقدة مع القيود. من خلال أتمتة اشتقاق المعادلات وحلها عددياً، توفر الآلة الوقت وتقلل من فرصة الأخطاء.
نصائح للحصول على أفضل النتائج
- التزم بالدوال الهدف الخطية أو التربيعية.
- استخدم الأشكال القياسية للقيود ((g(x, y, z) = 0)).
- إذا كنت غير مألوف بمضاعفات لاغرانج، راجع أساسياتها الرياضية قبل استخدام الآلة الحاسبة.
مع هذه الآلة، لم يكن حل مشاكل التحسين أسهل من أي وقت مضى! أدخل مشكلتك، انقر على "احسب"، واحصل على نتائج فورية. دعنا نعرف إذا واجهت أي مشاكل أو لديك اقتراحات للتحسين.