آلة حساب سلسلة تايلور

الفئة: التفاضل والتكامل
- أكتوبر 04, 2025
| |

احسب ومرر توسيعات سلسلة تايلور للدوال الرياضية. سلسلة تايلور تقرب دالة باستخدام مجموع الحدود المشتقة من مشتقات الدالة عند نقطة معينة.

الدالة المدخلة

خيارات العرض

حول سلسلة تايلور

سلسلة تايلور هي تمثيل لدالة كمجموع لانهائي من الحدود التي يتم حسابها من قيم مشتقات الدالة عند نقطة واحدة.

المفاهيم الأساسية
  • نقطة التوسع: النقطة 'a' التي تدور حولها السلسلة
  • ترتيب التقريب: عدد الحدود المستخدمة في السلسلة
  • التقارب: مدى قرب السلسلة من الدالة كلما أضيفت المزيد من الحدود
  • نصف قطر التقارب: نطاق قيم x التي تتقارب فيها السلسلة
سلاسل تايلور الشائعة
  • ex: 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (عند a = 0)
  • sin(x): x - x³/3! + x⁵/5! - ... (عند a = 0)
  • cos(x): 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (عند a = 0)
  • ln(1+x): x - x²/2 + x³/3 - ... (عند a = 0، لـ |x| < 1)
التطبيقات
  • تقريب الدوال: حساب قيم الدوال المعقدة
  • التحليل العددي: حل المعادلات التفاضلية
  • الفيزياء: تقريب الحلول للمشاكل الفيزيائية
  • علوم الحاسوب: خوارزميات لتقييم الدوال
  • الهندسة: معالجة الإشارات وأنظمة التحكم

ما هي سلسلة تايلور؟

سلسلة تايلور هي تمثيل لدالة كجمع لانهائي من الحدود التي يتم حسابها من قيم مشتقات الدالة عند نقطة واحدة. إنها تتيح لنا تقريب الدوال المعقدة باستخدام كثيرات الحدود، والتي يمكن أن تكون أسهل في الحساب والتحليل.

الصيغة العامة لسلسلة تايلور لدالة \( f(x) \) حول نقطة \( a \) هي:

\[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \dots \]

تكون هذه السلسلة مفيدة بشكل خاص في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي لتقريب الدوال، وحل المعادلات التفاضلية، ونمذجة الأنظمة الواقعية.

ميزات آلة حاسبة سلسلة تايلور

  • تسمح بإدخال أي دالة رياضية \( f(x) \) للتوسع.
  • تتضمن قائمة منسدلة مع أمثلة لتعبئة قيم الدالة، المركز، والترتيب مسبقًا.
  • تحسب سلسلة تايلور حتى ترتيب محدد \( n \) حول نقطة مركزية معينة \( a \).
  • تعرض التوسع في سلسلة تايلور وشرح خطوة بخطوة باستخدام MathJax للوضوح.

كيفية استخدام آلة حاسبة سلسلة تايلور

  1. أدخل الدالة \( f(x) \) في حقل الإدخال. تشمل الأمثلة \( \sin(x) \)، \( e^x \)، أو \( \ln(x+1) \).
  2. اختر نقطة مركزية \( a \)، وهي النقطة التي ستتوسع حولها سلسلة تايلور.
  3. حدد الترتيب \( n \)، الذي يحدد درجة تقريب كثير الحدود.
  4. انقر على زر "احسب" لحساب سلسلة تايلور.
  5. عرض النتائج، بما في ذلك التوسع في السلسلة وخطوات الحساب التفصيلية.
  6. إذا لزم الأمر، اختر مثالًا من القائمة المنسدلة لتعبئة الحقول مسبقًا.
  7. انقر على زر "مسح" لإعادة تعيين جميع الحقول وبدء حساب جديد.

مثال على الاستخدام

مدخلات المثال:

  • الدالة: \( \sin(x) \)
  • المركز: \( a = 0 \)
  • الترتيب: \( n = 5 \)

مخرجات المثال:

التوسع في سلسلة تايلور لـ \( \sin(x) \) حول \( a = 0 \) حتى \( n = 5 \):

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]

الأسئلة الشائعة

  • ما الفرق بين سلسلة تايلور وسلسلة ماكلورين؟
    سلسلة تايلور تكون مركزة حول أي نقطة \( a \)، بينما سلسلة ماكلورين هي حالة خاصة من سلسلة تايلور مركزة عند \( a = 0 \>.
  • هل يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل مع المشتقات من الرتبة الأعلى؟
    نعم، تستخدم الآلة الحاسبة مكتبة رياضية لحساب المشتقات من أي رتبة لتوسيع سلسلة تايلور.
  • ماذا يحدث إذا أدخلت دالة غير صالحة؟
    إذا كانت الدالة غير صالحة، ستظهر الآلة الحاسبة رسالة خطأ. تأكد من أن إدخالك يتبع الصياغة الرياضية القياسية.
  • ما مدى دقة تقريب سلسلة تايلور؟
    تعتمد الدقة على الترتيب \( n \). القيم الأعلى لـ \( n \) توفر تقريبًا أكثر دقة، خاصة بالقرب من النقطة المركزية \( a \).
  • ما هي بعض التطبيقات الشائعة لسلاسل تايلور؟
    تُستخدم سلاسل تايلور في حساب التفاضل والتكامل لتقريب الدوال، وحل المعادلات التفاضلية، وإجراء التحليل العددي.

فوائد استخدام آلة حاسبة سلسلة تايلور

  • تبسط الحسابات الرياضية المعقدة من خلال أتمتة عملية التوسع.
  • توفر شروحات واضحة خطوة بخطوة لأغراض تعليمية.
  • تساعد المستخدمين على فهم كيفية عمل سلاسل تايلور وتطبيقاتها في حساب التفاضل والتكامل.
  • تسمح للمستخدمين باختبار وتصوير المفاهيم الرياضية بشكل تفاعلي.