حاسبة المساحة بين المنحنيات

الفئة: التفاضل والتكامل
- أغسطس 07, 2025
| |

احسب المساحة بين دالتين f(x) و g(x) ضمن فترة محددة. يستخدم هذا الآلة الحاسبة التكامل العددي لإيجاد المساحة بين المنحنيات.

إدخال الدوال

خيارات الحساب

حول المساحة بين المنحنيات

تمثل المساحة بين منحنيين المساحة المحصورة بين دالتين على فترة محددة. إنها مفهوم أساسي في حساب التفاضل والتكامل مع العديد من التطبيقات العملية.

فهم الحساب

لإيجاد المساحة بين المنحنيات:

  1. حدد أي دالة فوق الأخرى خلال الفترة
  2. اطرح الدالة السفلى من الدالة العليا
  3. قم بتكامل هذا الفرق على الفترة المحددة
  4. إذا تقاطعت المنحنيات، قسم الحساب عند نقاط التقاطع
طرق التكامل العددي

تستخدم هذه الآلة الحاسبة طريقتين للتكامل العددي:

  • قاعدة سيمبسون: تقريب تربيعي يكون عادة أكثر دقة للدوال السلسة
  • قاعدة شبه المنحرف: تقريب خطي يعمل بشكل جيد لمجموعة واسعة من الدوال

زيادة عدد الفترات عمومًا تحسن الدقة ولكن قد تزيد من وقت الحساب.

التطبيقات
  • الفيزياء: حسابات العمل، تحليل الضغط والحجم، الجهد الكهربائي
  • الهندسة: تحليل الهياكل، ديناميكا السوائل، معالجة الإشارات
  • الاقتصاد: فائض المستهلك والمنتج، منحنيات لورينز
  • الإحصاء: توزيعات الاحتمالات وفترات الثقة
  • علم الأحياء: ديناميات السكان، نماذج النمو

ما هو حاسبة المساحة بين المنحنيات؟

حاسبة المساحة بين المنحنيات هي أداة رياضية مصممة لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين على مدى محدد. يتم تحديد هذه المساحة من خلال تكامل الفرق المطلق بين الدالتين، ( f(x) ) و ( g(x) )، عبر المدى. يمكن استخدامها للعثور على المنطقة ذات الأهمية في سيناريوهات مثل:

  • مقارنة دالتين مختلفتين لتحديد المساحة بينهما.
  • تحليل البيانات في الفيزياء أو الاقتصاد أو العلوم الأخرى حيث يكون للاختلاف بين منحنيين أهمية.

تسهل هذه الحاسبة العملية من خلال السماح للمستخدمين بإدخال الدوال وتحديد المدى اختياريًا. إذا لم يتم تقديم مدى، تقوم الحاسبة تلقائيًا بتحديده باستخدام نقاط التقاطع بين المنحنيين.

ميزات الحاسبة

  • مرونة الإدخال: تقبل التعبيرات الرياضية للدوال ( f(x) ) و ( g(x) ).
  • خيارات المدى: تدعم المدد المعرفة من قبل المستخدم أو تحسب النطاق تلقائيًا بناءً على نقاط التقاطع.
  • قدرات الرسم البياني: تصور كلا الدالتين والمساحة المحصورة على الرسم البياني.
  • شرح خطوة بخطوة: توفر تحليلًا مفصلًا لعملية الحساب.
  • خيارات الأمثلة: تتضمن أمثلة محملة مسبقًا للاختبار السريع والتعلم.

كيفية استخدام حاسبة المساحة بين المنحنيات

  1. أدخل الدوال:
  2. أدخل الدالة الأولى ( f(x) ) والدالة الثانية ( g(x) ) في الحقول المخصصة.

  3. أمثلة: ( x^2, \sin(x), e^x ).

  4. المدى الاختياري:

  5. حدد بداية ونهاية المدى إذا كانت معروفة.

  6. اترك الحقول فارغة إذا كنت تريد من الحاسبة تحديد المدى تلقائيًا.

  7. اختر مثالًا (اختياري):

  8. استخدم القائمة المنسدلة لاختيار مثال محمل مسبقًا.

  9. ستملأ الحقول بالدوال والقيم الخاصة بالمدى المقابلة.

  10. احسب:

  11. انقر على زر احسب لحساب المساحة وعرض النتائج.

  12. ستعرض الحاسبة المساحة، وشرح خطوة بخطوة، ورسمًا للدوال.

  13. مسح:

  14. انقر على زر مسح لإعادة تعيين جميع المدخلات والمخرجات.

سيناريوهات الأمثلة

المثال 1: قطع مكافئ وخط

  • الدوال: ( f(x) = x^2 )، ( g(x) = 2x )
  • المدى: [0, 2]
  • المساحة: ( \int_{0}^{2} |x^2 - 2x| \, dx )

المثال 2: الدوال المثلثية

  • الدوال: ( f(x) = \sin(x) )، ( g(x) = \cos(x) )
  • المدى: [0, ( \pi )]
  • المساحة: ( \int_{0}^{\pi} |\sin(x) - \cos(x)| \, dx )

الأسئلة الشائعة (FAQ)

س1: ماذا يحدث إذا لم أقدم مدى؟
تقوم الحاسبة تلقائيًا بالعثور على نقاط التقاطع بين المنحنيين وتستخدمها كحدود للمدى.

س2: هل يمكنني استخدام دوال غير متعددة الحدود؟
نعم، تدعم الحاسبة الدوال المثلثية والأسية وغيرها من الدوال الرياضية.

س3: ماذا لو لم تتقاطع الدوال؟
إذا لم تتقاطع الدوال ضمن النطاق الافتراضي، أو لم يمكن تحديد نقاط تقاطعها، تحتاج إلى تحديد المدى يدويًا.

س4: هل تتعامل الحاسبة مع الانقطاع؟
تحاول الحاسبة تحديد ومعالجة الانقطاعات (مثل الأسطح العمودية) من خلال تقسيم المدى إلى مقاطع قابلة للإدارة.

س5: هل يمكنني تصور المساحة؟
نعم، تولد الحاسبة رسمًا يبرز المنحنيين والمنطقة ذات الأهمية.

فوائد الحاسبة

  • تبسيط الحسابات: تتجنب التكامل اليدوي من خلال أتمتة العملية.
  • تعزيز التعلم: مثالية للطلاب الذين يتعلمون عن التكامل والمساحات بين المنحنيات.
  • توفير الوقت: تحسب النتائج بسرعة، بما في ذلك الدوال المعقدة والمدى.

مع هذه الأداة، تصبح عملية حساب المساحة بين المنحنيات سهلة وبديهية وفعالة، مما يجعلها مناسبة للتطبيقات الأكاديمية والعملية على حد سواء.