حاسبة المستوى المماس

الفئة: التفاضل والتكامل
- أغسطس 13, 2025
| |

تقوم هذه الآلة الحاسبة بإيجاد معادلة المستوى المماس لسطح عند نقطة معينة. أدخل معادلة السطح وإحداثيات النقطة لحساب معادلة المستوى المماس وتصور السطح والمستوى.

إدخال السطح

خيارات العرض

حول المستويات المماسية

المستوى المماس لسطح عند نقطة معينة هو مستوى يلامس السطح عند تلك النقطة ويكون "موازيًا" للسطح عند نقطة التماس. إنه أفضل تقريب خطي للسطح بالقرب من تلك النقطة.

إيجاد المستويات المماسية لأنواع مختلفة من الأسطح
  1. سطح صريح (z = f(x,y)):

    بالنسبة لسطح z = f(x,y)، فإن المستوى المماس عند النقطة (x₀, y₀, z₀) له المعادلة:

    z - z₀ = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)

    حيث f_x و f_y هما المشتقات الجزئية لـ f بالنسبة لـ x و y.

  2. سطح ضمني (F(x,y,z) = 0):

    بالنسبة لسطح F(x,y,z) = 0، فإن المستوى المماس عند النقطة (x₀, y₀, z₀) له المعادلة:

    F_x(x₀, y₀, z₀)(x - x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)(y - y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)(z - z₀) = 0

    حيث F_x و F_y و F_z هي المشتقات الجزئية لـ F بالنسبة لـ x و y و z.

  3. سطح معلمي (x,y,z = f(u,v)):

    بالنسبة لسطح معلم بواسطة x = x(u,v)، y = y(u,v)، z = z(u,v)، فإن المستوى المماس عند النقطة المقابلة لـ (u₀, v₀) له متجه عمودي معطى بواسطة:

    n = (∂r/∂u) × (∂r/∂v)

    حيث r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) و × هو حاصل الضرب المتجهي.

تطبيقات المستويات المماسية
  • التقريب الخطي: توفر المستويات المماسية تقريبًا خطيًا للسطح بالقرب من نقطة التماس.
  • الهندسة التفاضلية: تساعد المستويات المماسية في تحليل السلوك المحلي للأسطح.
  • الرسوميات الحاسوبية: تستخدم المستويات المماسية في حسابات التظليل والإضاءة.
  • التحسين: تساعد المستويات المماسية في إيجاد القيم القصوى للدوال مع القيود.
  • الفيزياء: تستخدم المستويات المماسية في الميكانيكا والكهرومغناطيسية لتحليل القوى والحقول على الأسطح.
أمثلة شائعة
السطح النقطة معادلة المستوى المماس
z = x² + y² (1, 2, 5) z = 2x + 4y - 1
x² + y² + z² = 4 (0, 0, 2) z = 2
هيليكويد: x = u·cos(v), y = u·sin(v), z = v u=2, v=0 z = x/2

آلة حساب المستوى المماس: الغرض والتعليمات

ما هو المستوى المماس؟

المستوى المماس هو سطح مستوٍ "يلمس فقط" سطحًا معينًا عند نقطة محددة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. إنه تقريب للسطح بالقرب من تلك النقطة، مفيد في الهندسة، والتفاضل والتكامل، والهندسة لفهم السلوك المحلي. يتم اشتقاق معادلة المستوى المماس باستخدام المشتقات الجزئية لمعادلة السطح وإحداثيات النقطة المعطاة.

على سبيل المثال، بالنسبة لسطح ( f(x, y, z) = k )، يتم حساب المستوى المماس عند نقطة ( (x_0, y_0, z_0) ) باستخدام الصيغة التالية: [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

تضمن هذه المعادلة أن يكون المستوى مماسًا للسطح عند النقطة المحددة.

كيفية استخدام آلة حساب المستوى المماس

تُبسط آلة حساب المستوى المماس عملية إيجاد معادلة المستوى المماس عند نقطة معينة لسطح ( f(x, y, z) = k ). إليك كيفية استخدامها بفعالية:

خطوات الاستخدام:

  1. إدخال الدالة:

  2. أدخل معادلة السطح ( f(x, y, z) = k ) في حقل الإدخال. على سبيل المثال: x^2 + y^2 + z^2 = 14.

  3. تحديد النقطة:

  4. أدخل إحداثيات النقطة ( (x_0, y_0, z_0) ) حيث تريد إيجاد المستوى المماس. مثال: ( (1, 3, 2) ).

  5. الحساب:

  6. انقر على زر "احسب". ستقوم الآلة:

    • بحساب المشتقات الجزئية لمعادلة السطح بالنسبة لـ ( x )، و ( y )، و ( z ).
    • باستبدال المشتقات والنقطة في معادلة المستوى المماس.

  7. عرض الحل:

  8. ستعرض الآلة معادلة المستوى المماس مع خطوات مفصلة للحساب.

  9. تصور الرسم البياني:

  10. يتم عرض رسم بياني مبسط للمستوى المماس وعلاقته بالسطح لفهم أفضل.

  11. مسح المدخلات:

  12. انقر على "مسح الكل" لإعادة تعيين الآلة إلى مثالها الافتراضي.

الميزات الرئيسية لآلة حساب المستوى المماس

  • واجهة سهلة الاستخدام: أدخل معادلة السطح وإحداثيات النقطة في تخطيط نظيف وبديهي.
  • خطوات مفصلة: اتبع خطوات الحساب لفهم العملية.
  • تصور رسومي: عرض تمثيل ثنائي الأبعاد للمستوى المماس.
  • مثال محمّل مسبقًا: ابدأ بمثال محمّل مسبقًا للاختبار السريع.

الأسئلة الشائعة

1. ما أنواع المعادلات التي يمكنني إدخالها؟

يمكنك إدخال أي معادلة من الشكل ( f(x, y, z) = k ). تشمل الأمثلة: - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. ماذا يحدث إذا لم أقدم إدخالًا صالحًا؟

ستعرض الآلة رسالة خطأ تطلب منك إدخال معادلة ونقطة صحيحة.

3. ما مدى دقة الحسابات؟

تستخدم الآلة مكتبات متقدمة مثل Math.js لحساب المشتقات الجزئية وتقييم الدوال، مما يضمن دقة عالية.

4. هل يمكنني استخدامها للأسطح الضمنية؟

نعم، تم تصميم الآلة خصيصًا للتعامل مع الأسطح الضمنية حيث ( f(x, y, z) = k ).

5. هل يمكنني إعادة تعيين الآلة؟

نعم، النقر على "مسح الكل" سيعيد تعيين حقول الإدخال إلى قيمها الافتراضية.

مثال توضيحي

افترض أن معادلة السطح هي ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 )، والنقطة هي ( (1, 3, 2) ).

  1. الإدخال:
  2. الدالة: x^2 + y^2 + z^2 = 14

  3. النقطة: ( (1, 3, 2) )

  4. المشتقات الجزئية:

  5. ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
  6. ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )

  7. ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )

  8. استبدال القيم:

  9. عند ( (1, 3, 2) ):

    • ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )

  10. المستوى المماس: [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] تبسيط: [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

الخاتمة

آلة حساب المستوى المماس هي أداة قوية لحساب المستويات المماسية بسرعة ودقة للأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. مع واجهتها البديهية ومخرجاتها التفصيلية، فهي مثالية للطلاب والمهندسين والباحثين الذين يعملون في مجال التفاضل والتكامل أو الهندسة ثلاثية الأبعاد.