حاسبة طول قوس المنحنى

الفئة: التفاضل والتكامل
- سبتمبر 25, 2025
| |

احسب طول منحنى معرف بدالة y = f(x) بين قيمتين لـ x. يستخدم هذا الحاسبة التكامل العددي لإيجاد طول القوس.

قيم الإدخال

خيارات الحساب

حول حساب طول القوس

تقيس معادلة طول القوس المسافة على طول مسار منحني معرف بدالة. هذا يختلف عن قياس المسافة المستقيمة بين نقطتين.

اشتقاق المعادلة

تُشتق معادلة طول القوس من خلال اعتبار مقاطع غير نهائية من المنحنى وتطبيق نظرية فيثاغورس. بالنسبة لمنحنى y = f(x)، لدينا:

  • لتغيير صغير dx في x، التغيير المقابل في y هو dy = f'(x)·dx
  • طول هذا المقطع الصغير هو ds = √(dx² + dy²) = √(1 + [f'(x)]²)·dx
  • تكامل هذه الأطوال غير النهائية يعطي الطول الكلي للقوس
طرق التكامل العددي

تستخدم هذه الحاسبة طريقتين للتكامل العددي:

  • قاعدة سيمبسون: تقريب تربيعي يكون عادة أكثر دقة للدوال السلسة
  • قاعدة شبه المنحرف: تقريب خطي يعمل بشكل جيد لمجموعة واسعة من الدوال

زيادة عدد الفترات عادة ما تحسن الدقة ولكن قد تزيد من وقت الحساب.

التطبيقات
  • الفيزياء: حساب طول مسار أو مسار
  • الهندسة: تحديد طول الكابلات أو الأسلاك
  • رسومات الكمبيوتر: إيجاد طول المنحنيات للرسوم المتحركة أو التصميم
  • الجغرافيا: قياس طول المسارات المنحنية على الخرائط

آلة حساب طول القوس للمنحنى: دليل كامل

ما هي آلة حساب طول القوس للمنحنى؟

آلة حساب طول القوس للمنحنى هي أداة مصممة لحساب طول منحنى محدد بواسطة دالة رياضية على فترة معينة. إنها تبسط ما كان سيكون حسابًا معقدًا من خلال أتمتة العملية وتوفير نتائج دقيقة.

يتم حساب طول القوس للمنحنى باستخدام الصيغة:

[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} \, dx ]

حيث: - ( f(x) ) هي الدالة المعطاة. - ( f'(x) ) هي مشتقتها. - ( [a, b] ) تمثل الفترة التي يتم قياس طول القوس عليها.

تعتبر هذه الآلة مثالية للطلاب والمعلمين والمحترفين الذين يعملون على تحليل المنحنيات أو مسائل الهندسة.

كيفية استخدام آلة حساب طول القوس للمنحنى

اتبع هذه الخطوات لحساب طول القوس للمنحنى:

  1. أدخل الدالة:

  2. أدخل الدالة ( f(x) ) في حقل الإدخال، مثل x^2، sin(x)، أو ln(x+1).

  3. اختر أو أدخل الفترة:

  4. استخدم القائمة المنسدلة لاختيار مثال محدد مسبقًا، أو أدخل قيم الفترة يدويًا (( a ) و ( b )).

  5. احسب طول القوس:

  6. انقر على زر احسب لحساب طول القوس. ستعرض الآلة النتيجة مع خطوات مفصلة.

  7. عرض الرسم البياني:

  8. يتم عرض رسم بياني للدالة لتحسين تصور المنحنى على الفترة المحددة.

  9. مسح المدخلات:

  10. انقر على مسح لإعادة تعيين المدخلات وبدء حساب جديد.

ميزات الآلة

  • أمثلة محملة مسبقًا:

  • قم بتحميل الدوال والفترات بسرعة باستخدام القائمة المنسدلة. تشمل الأمثلة:

    • ( f(x) = x^2 ) على ( [-1, 1] )
    • ( f(x) = \sin(x) ) على ( [0, \pi] )
    • ( f(x) = \ln(x+1) ) على ( [0, 2] )

  • تحليل خطوة بخطوة:

  • تفسيرات مفصلة توجهك خلال عملية الحساب، بما في ذلك تقييم المشتقات والتقريب العددي.

  • تصور الرسم البياني:

  • يعرض الرسم البياني المنحنى على الفترة المحددة، مما يوفر رؤى حول شكل وسلوك الدالة.

  • تقريب عددي دقيق:

  • تستخدم الآلة زيادة صغيرة (( dx = 0.01 )) للحصول على نتائج دقيقة.

  • تصميم متوافق مع الهواتف المحمولة:

  • مُحسّن للاستخدام على أي جهاز، سواء كان سطح مكتب أو هاتف محمول.

الأسئلة الشائعة

1. ما أنواع الدوال التي يمكنني إدخالها؟

يمكنك إدخال الدوال متعددة الحدود، المثلثية، اللوغاريتمية، وغيرها من الدوال الرياضية، مثل: - متعددة الحدود: ( x^2، x^3 + 2x - 5 ) - مثلثية: ( \sin(x)، \cos(x) ) - لوغاريتمية: ( \ln(x+1) ) - الجذور التربيعية: ( \sqrt{x} )

2. ماذا يحدث إذا كانت فترتي غير صالحة؟

تتطلب الآلة ( a < b ). إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، ستظهر رسالة خطأ تطلب منك تعديل المدخلات.

3. كيف يتم حساب طول القوس؟

تستخدم الأداة طرقًا عددية: - تقوم بتقييم ( f'(x) )، مشتقة ( f(x) ). - تحسب ( \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} ) على فترات صغيرة (( dx )). - تجمع هذه القيم لتقريب طول القوس.

4. هل يمكنني رؤية خطوات الحساب؟

نعم! تعرض الآلة: - مشتقة ( f(x) ). - الخطوات الوسيطة لصيغة طول القوس. - عملية التقريب العددي.

5. هل يمكنني استخدام هذا لأي فترة؟

نعم، طالما أن الدالة معرفة جيدًا ومستمرّة على الفترة ( [a, b] ).

مثال على الحساب

المشكلة:

احسب طول القوس لـ ( f(x) = \sin(x) ) على الفترة ( [0, \pi] ).

الحل باستخدام الآلة:

  1. اختر ( f(x) = \sin(x) ) من القائمة المنسدلة.
  2. تأكد من أن الفترة ( [0, \pi] ) مُعبأة مسبقًا.
  3. انقر على احسب.

الناتج:

  • طول القوس: ( L = 2.005 )
  • الخطوات:
  • احسب ( f'(x) = \cos(x) ).
  • قيم ( \sqrt{1 + (\cos(x))^2} ) على فترات صغيرة (( dx = 0.01 )).
  • اجمع هذه القيم على ( [0, \pi] ).

يتم عرض الرسم البياني لـ ( f(x) = \sin(x) ) للتصور.

لماذا تستخدم آلة حساب طول القوس للمنحنى؟

تسهل آلة حساب طول القوس للمنحنى العمليات الرياضية المعقدة. سواء كنت طالبًا تحل مسائل الواجب المنزلي أو محترفًا يحلل المنحنيات، توفر لك هذه الأداة: - دقة من خلال التقريب العددي. - تفسيرات واضحة للتعلم والفهم. - أتمتة موفرة للوقت للمهام المتكررة.

جرّب الآلة اليوم واجعل حسابات طول القوس سهلة!