حاسبة متجه الوحدة العمودية

الفئة: التفاضل والتكامل
- يوليو 09, 2025
| |

تقوم هذه الآلة الحاسبة بإيجاد المتجه العمودي للوحدة على منحنى أو سطح عند نقطة معينة. أدخل منحنى بارامتري، دالة ذات قيم متجهة، أو معادلة سطح لحساب المتجه العمودي وشكله الوحدوي.

دالة الإدخال

خيارات العرض

حول المتجهات العمودية

المتجه العمودي هو متجه عمودي على منحنى عند نقطة معينة أو عمودي على سطح عند نقطة معينة. المتجه العمودي للوحدة هو المتجه العمودي الذي تم تطبيعه ليكون له طول 1 (متجه وحدة).

إيجاد المتجهات العمودية لأنواع مختلفة من الدوال
  1. منحنى بارامتري ثنائي الأبعاد: بالنسبة لمنحنى r(t) = (x(t), y(t))، يكون المتجه العمودي عمودياً على المتجه المماس.
    • المتجه المماس: r'(t) = (x'(t), y'(t))
    • المتجه العمودي: N = (-y'(t), x'(t)) أو N = (y'(t), -x'(t))
  2. منحنى بارامتري ثلاثي الأبعاد: بالنسبة لمنحنى r(t) = (x(t), y(t), z(t))، المتجهات العمودية ليست فريدة. نستخدم عادةً مفاهيم مثل المتجه العمودي الرئيسي، الذي يشير في اتجاه انحناء المنحنى.
  3. سطح z = f(x,y): المتجه العمودي هو حاصل ضرب المتجهات الجزئية.
    • N = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
تطبيع للحصول على المتجه العمودي للوحدة

لتحويل المتجه العمودي N إلى متجه عمودي للوحدة n، قسم N على مقداره:

n = N / |N|

حيث |N| هو مقدار N، المحسوب كـ |N| = √(N₁² + N₂² + ... + Nₙ²).

تطبيقات المتجهات العمودية
  • رسومات الكمبيوتر: تُستخدم المتجهات العمودية في حسابات الإضاءة والتظليل في العرض ثلاثي الأبعاد
  • الفيزياء: تحدد المتجهات العمودية اتجاه القوى في ميكانيكا الاتصال والانعكاس
  • الهندسة التفاضلية: تساعد المتجهات العمودية في وصف الشكل المحلي والانحناء للأسطح
  • الهندسة: تُستخدم المتجهات العمودية في تحليل العناصر المحدودة والديناميكا السائلة الحاسوبية

آلة حاسبة للمتجه العمودي الموحد: دليل كامل

تُعتبر آلة حاسبة للمتجه العمودي الموحد أداة مصممة لحساب المتجه العمودي الرئيسي الموحد لدالة ذات قيم متجهة ( \vec{r}(t) ). هذا المتجه حاسم في تحليل الانحناء وسلوك المنحنيات في الفضاء متعدد الأبعاد، مما يجعله أداة لا تقدر بثمن في الفيزياء والهندسة والرياضيات المتقدمة.

ما هو المتجه العمودي الموحد؟

المتجه العمودي الموحد ( \vec{N}(t) ) هو متجه طوله 1 يشير عموديًا إلى المتجه المماس الموحد ( \vec{T}(t) ). يمثل الاتجاه الذي تنحني فيه المنحنى عند نقطة معينة ويتم حسابه باستخدام مشتقة المتجه المماس الموحد.

خطوات حساب ( \vec{N}(t) ) هي: 1. حساب المشتقة ( \vec{r}'(t) ) لدالة المتجه ( \vec{r}(t) ). 2. تطبيع ( \vec{r}'(t) ) لإيجاد المتجه المماس الموحد ( \vec{T}(t) ). 3. حساب المشتقة ( \vec{T}'(t) ). 4. تطبيع ( \vec{T}'(t) ) لإيجاد ( \vec{N}(t) ).

كيفية استخدام آلة حاسبة للمتجه العمودي الموحد

تجعل الآلة الحاسبة العملية بسيطة وسهلة الفهم. إليك كيفية استخدامها:

1. إدخال دالة المتجه الخاصة بك

  • أدخل دالة المتجه ذات القيم المتجهة ( \vec{r}(t) ) في مربع النص. على سبيل المثال: [ \vec{r}(t) = \langle \sin(t), \cos(t), 2\sqrt{2}t \rangle ]
  • تأكد من تقديم المكونات كقيم مفصولة بفواصل (مثل sin(t), cos(t), 2sqrt(2)t).

2. تحديد النقطة ( t )

  • أدخل قيمة ( t ) حيث تريد حساب المتجه العمودي الموحد. على سبيل المثال، ( t = 3 ).

3. حساب

  • انقر على زر احسب.
  • ستعرض الآلة الحاسبة:
  • قيم الإدخال الخاصة بك.
  • حسابات خطوة بخطوة، بما في ذلك النتائج الوسيطة.
  • المتجه العمودي الموحد النهائي ( \vec{N}(t) ).

4. مسح (اختياري)

  • انقر على زر مسح لإعادة تعيين جميع حقول الإدخال.

مثال على الحساب

دعنا نمر بمثال باستخدام الآلة الحاسبة.

الإدخال:

[ \vec{r}(t) = \langle \sin(t), \cos(t), 2\sqrt{2}t \rangle, \quad t = 3 ]

خطوات الحل:

الخطوة 1: حساب المتجه المماس الموحد ( \vec{T}(t) ): [ \vec{T}(t) = \frac{1}{\sqrt{(-0.9899)^2 + (-0.1411)^2 + (2.8284)^2}} \langle -0.9899, -0.1411, 2.8284 \rangle ]

الخطوة 2: اشتقاق ( \vec{T}(t) ): [ \vec{T}'(t) = \langle -0.3300, -0.0470, 0.9428 \rangle ]

الخطوة 3: تطبيع ( \vec{T}'(t) ) لحساب ( \vec{N}(t) ): [ \vec{N}(t) = \frac{1}{\sqrt{(-0.3300)^2 + (-0.0470)^2 + (0.9428)^2}} \langle -0.3300, -0.0470, 0.9428 \rangle ]

الإجابة:

[ \vec{N}(t) = \langle -0.3300, -0.0470, 0.9428 \rangle ]

الميزات الرئيسية

واجهة بسيطة وبديهية

تم تصميم الآلة الحاسبة لتكون سهلة الاستخدام: - أدخل المدخلات مباشرة كتعابير رياضية. - استخدم زر مسح لإعادة تعيين الحقول على الفور.

حلول خطوة بخطوة

كل حساب يتم تقسيمه إلى خطوات قابلة للإدارة: 1. تحليل الإدخال: يتحقق من صحة دالة المتجه. 2. الخطوات الوسيطة: تعرض النتائج الوسيطة مثل المشتقات والمتجهات المماسية. 3. النتيجة النهائية: توفر المتجه العمودي الموحد بتنسيق احترافي.

معالجة الأخطاء

  • المدخلات غير الصالحة (مثل المكونات المفقودة أو ( t ) غير الرقمية) تولد رسائل خطأ واضحة.
  • تضمن أن المستخدمين يمكنهم إصلاح الأخطاء بسرعة.

تطبيقات المتجهات العمودية الموحدة

  • الفيزياء: تحليل القوى أو التسارع العمودي على الحركة.
  • الهندسة: دراسة الإجهاد أو التشوه في المواد المنحنية.
  • الرياضيات: التحقيق في الانحناء والاتجاهية للمنحنيات في الفضاء.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

1. ما هو الغرض من المتجه العمودي الموحد؟

يوفر المتجه العمودي الموحد اتجاه الانحناء لمنحنى عند نقطة معينة. إنه مفيد في فهم كيفية انحناء المنحنى وكيف تؤثر القوى الخارجية على الأجسام المتحركة على طولها.

2. ما المدخلات المطلوبة؟

تحتاج إلى: - دالة متجهة ( \vec{r}(t) )، معبراً عنها كمكونات مفصولة بفواصل. - نقطة ( t )، التي تحدد نقطة الاهتمام على المنحنى.

3. ماذا لو كانت دالة المتجه الخاصة بي غير صالحة؟

ستعرض الآلة الحاسبة رسالة خطأ إذا: - لم يتم تنسيق دالة المتجه بشكل صحيح. - تحتوي أي مكون على تعبير رياضي غير صالح.

4. هل يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل مع المتجهات ذات الأبعاد الأعلى؟

نعم، يمكن للآلة الحاسبة التعامل مع دوال المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد. ببساطة قدم مكونين أو ثلاثة مفصولة بفواصل.

5. هل أحتاج إلى تبسيط التعابير يدويًا؟

لا، تقوم الآلة الحاسبة تلقائيًا بتبسيط جميع التعابير وتعرض النتائج بتنسيق احترافي.

ملخص

تُبسط آلة حاسبة للمتجه العمودي الموحد عملية حساب المتجه العمودي الرئيسي الموحد لدوال المتجهات ذات القيم المتجهة. مع تفصيلها خطوة بخطوة وواجهة المستخدم سهلة الاستخدام، فهي أداة قيمة للطلاب والباحثين والمحترفين الذين يعملون مع المنحنيات في الفيزياء والرياضيات والهندسة. سواء كنت تحلل انحناء مسار أو تحل مشكلة فيزيائية، تضمن هذه الآلة الحاسبة نتائج دقيقة في كل مرة.