حاسبة التدوير

الفئة: التفاضل والتكامل
- سبتمبر 13, 2025
| |

احسب دوران حقل متجه عند نقطة معينة. الدوران هو مقياس للدوران أو الدوران لحقل متجه ويستخدم عادة في الفيزياء والهندسة.

إدخال حقل متجه

مكونات المتجه F(x,y,z) = F₁i + F₂j + F₃k

نقطة التقييم

خيارات العرض

حول الدوران في حساب المتجهات

دوران حقل المتجه هو مشغل متجه يصف الدوران اللانهائي لحقل متجه. إنه مقياس لكثافة الدوران عند كل نقطة من الحقل.

من الناحية الفيزيائية، دوران حقل المتجه هو الدوران لكل وحدة مساحة في الاتجاه العمودي على المساحة. على سبيل المثال، في ديناميكا السوائل، دوران حقل السرعة (∇ × v) هو الدوران، الذي يقيس الدوران المحلي للسائل.

تطبيقات الدوران
  • ديناميكا السوائل: دوران حقل السرعة يعطي الدوران للسائل.
  • الكهرومغناطيسية: ترتبط معادلات ماكسويل بدوران الحقول الكهربائية والمغناطيسية بمصادرها.
  • نظرية ستوك: تربط التكامل السطحي للدوران بالتكامل الخطي حول الحدود.
  • تحلل هلمهولتز: يمكن تقسيم أي حقل متجه إلى جزء خالٍ من الدوران وجزء خالٍ من التباين.
خصائص الدوران
  • دوران التدرج دائمًا صفر: ∇ × (∇f) = 0
  • يمكن التعبير عن دوران الدوران كالتالي: ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) - ∇²F
  • بالنسبة لحقل متجه محافظ، يكون الدوران صفرًا في كل مكان
  • الدوران هو مشغل خطي: ∇ × (αF + βG) = α(∇ × F) + β(∇ × G)

آلة حساب التدوير: دليل شامل

آلة حساب التدوير هي أداة قوية مصممة لحساب التدوير لحقل متجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذه العملية هي مفهوم أساسي في حساب المتجهات، وتستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة لوصف الخصائص الدورانية للحقول، مثل دوران السوائل أو سلوك الحقول المغناطيسية والكهربائية.

ما هو التدوير؟

التدوير لحقل متجه يقيس الميل الدوراني للحقل عند نقطة معينة. رياضيًا، لحقل متجه ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} )، يتم تعريف التدوير على النحو التالي:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

هذا المحدد يتوسع إلى المكونات:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

ميزات آلة حساب التدوير

  • مكونات حقل المتجه المدخلة: أدخل مكونات ( P(x, y, z) )، ( Q(x, y, z) )، و ( R(x, y, z) ) لحقل المتجه.
  • التقييم عند نقاط محددة: اختياريًا، قدم قيمًا لـ ( x )، ( y )، و ( z ) لحساب التدوير عند نقطة معينة.
  • التصور: يسمح لك تصور حقل المتجه ثلاثي الأبعاد باستكشاف الخصائص الدورانية بصريًا.
  • أمثلة: تجعل الأمثلة المحددة مسبقًا من السهل فهم الأداة واختبارها.

كيفية استخدام آلة حساب التدوير

  1. أدخل مكونات حقل المتجه:
  2. أدخل التعبيرات لـ ( P(x, y, z) )، ( Q(x, y, z) )، و ( R(x, y, z) ).
  3. اختر مثالًا (اختياري):
  4. اختر مثالًا محددًا مسبقًا من القائمة المنسدلة لملء المدخلات تلقائيًا.
  5. حدد نقاط التقييم (اختياري):
  6. إذا رغبت، قدم قيمًا عددية لـ ( x )، ( y )، و ( z ) لحساب التدوير عند نقطة معينة.
  7. احسب:
  8. انقر على زر "احسب" لحساب التدوير وعرض النتائج، بما في ذلك تحليل خطوة بخطوة للحسابات.
  9. امسح:
  10. استخدم زر "امسح" لإعادة تعيين المدخلات والنتائج.

مثال على الحساب

بالنسبة لـ ( P = yz )، ( Q = xz )، و ( R = xy ):

  1. احسب المشتقات الجزئية: [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]

  2. احسب مكونات التدوير: [ \text{التدوير X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{التدوير Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{التدوير Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]

  3. النتيجة: [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو حقل المتجه؟

حقل المتجه يخصص متجهًا لكل نقطة في الفضاء، وغالبًا ما يستخدم لتمثيل الظواهر الفيزيائية مثل تدفق السوائل أو الحقول الكهرومغناطيسية.

ماذا يمثل التدوير من الناحية الفيزيائية؟

التدوير يشير إلى الدوران أو "الالتواء" لحقل المتجه عند نقطة معينة.

هل يمكنني حساب التدوير لحقول ثنائية الأبعاد؟

بينما التدوير هو عملية ثلاثية الأبعاد بشكل أساسي، فإنه يتقلص إلى قيمة عددية في حقول المتجه ثنائية الأبعاد.

ما هي الوظائف المدعومة؟

تدعم الآلة الوظائف الرياضية الشائعة مثل الدوال المثلثية، الأسية، اللوغاريتمية، والتعبيرات متعددة الحدود.

الخاتمة

تسهل آلة حساب التدوير عملية تحديد التدوير لحقل متجه، مما يجعلها متاحة للطلاب والمهندسين والفيزيائيين. استخدمها لفهم دورانات حقول المتجه وتعزيز تجربتك في حل المشكلات!