حاسبة المشتق الاتجاهي

الفئة: التفاضل والتكامل
- أغسطس 03, 2025
| |

احسب المشتق الاتجاهي لدالة عند نقطة في اتجاه متجه معين. أدخل دالة متعددة المتغيرات وحدد النقطة ومتجه الاتجاه لحساب كيفية تغير الدالة في ذلك الاتجاه.

إدخال الدالة

النقطة والاتجاه

خيارات العرض

حول المشتقات الاتجاهية

تمثل المشتق الاتجاهي معدل تغير دالة في اتجاه معين. إنها تعمم مفهوم المشتق الجزئي، الذي يقيس فقط التغير على طول محاور الإحداثيات.

المفاهيم الأساسية
  • التدرج (∇f): متجه يحتوي على جميع المشتقات الجزئية للدالة، يشير في اتجاه أعلى ارتفاع.
  • المتجه الوحدة (û): نسخة طبيعية من متجه الاتجاه بمقدار 1.
  • صيغة المشتق الاتجاهي: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û، حيث · تمثل حاصل الضرب النقطي.
  • التفسير: يقيس مدى سرعة تغير الدالة عند الانتقال من نقطة في الاتجاه المحدد.
التطبيقات
  • التحسين: إيجاد الاتجاهات التي تحقق أكبر زيادة/نقصان.
  • الفيزياء: حساب معدلات التغير في اتجاهات معينة (تدفق الحرارة، المجالات الكهربائية).
  • رسومات الكمبيوتر: تحليل السطح والتصيير.
  • تعلم الآلة: خوارزميات تحسين تعتمد على التدرج.

ما هو المشتق الاتجاهي؟

يقيس المشتق الاتجاهي كيف يتغير دالة ما عندما تتحرك في اتجاه معين من نقطة معينة. إنه يوسع مفهوم المشتقات الجزئية من خلال اعتبار اتجاه متجه بدلاً من التركيز فقط على المتغيرات الفردية مثل x أو y.

  • ببساطة، يحسب معدل تغير دالة f(x, y, z) عند نقطة معينة في اتجاه معين.
  • يُرمز له رياضيًا كالتالي:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

هنا: - ∇f هو متجه التدرج للدالة، والذي يحتوي على المشتقات الجزئية بالنسبة لجميع المتغيرات. - v̂ هو متجه الاتجاه الموحد (ذو طول وحدة).

  • نتيجة المشتق الاتجاهي هي رقم واحد يخبرنا ما إذا كانت الدالة تزداد أو تنقص أو ثابتة في الاتجاه المعطى.

الميزات الرئيسية لآلة حاسبة المشتق الاتجاهي

  • إدخال ديناميكي: أدخل أي دالة متعددة المتغيرات، ونقطة التقييم، ومتجه الاتجاه.
  • شرح خطوة بخطوة: توفر الآلة الحاسبة خطوات مفصلة، توضح كيفية حساب التدرج والمشتق الاتجاهي.
  • تصور رسومي: يعرض رسم بياني سلوك الدالة على طول متجه الاتجاه.
  • أمثلة مدمجة: اختبر الأداة بسرعة مع الأمثلة المقدمة للدوال الشائعة.

كيفية استخدام آلة حاسبة المشتق الاتجاهي

حقول الإدخال:

  1. أدخل دالة: حدد دالة متعددة المتغيرات مثل x^2 + y^2 + z^2 أو sin(x) * cos(y).
  2. نقطة التقييم: قدم النقطة التي سيتم تقييم المشتق عندها (مثل 1,1,1).
  3. متجه الاتجاه: أدخل المتجه الذي سيتم حساب المشتق فيه (مثل 1,2,3).

قائمة الأمثلة:

  • اختر مثالًا محددًا مسبقًا لملء الحقول تلقائيًا:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 عند (1, 1, 1) في الاتجاه v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) عند (0, 0) في الاتجاه v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) عند (1, 2) في الاتجاه v = (0, 1).

الأزرار:

  • احسب: قم بإجراء الحساب وعرض النتائج والخطوات والرسم البياني.
  • امسح: أعد تعيين جميع حقول الإدخال والمخرجات.

مثال توضيحي: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

الإدخال:

  • الدالة: sin(x) * cos(y)
  • النقطة: (0, 0)
  • متجه الاتجاه: (1, 1)

الحساب:

  1. احسب متجه التدرج:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. قيم عند (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. قم بتوحيد متجه الاتجاه (1, 1):

  8. متجه الوحدة: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. احسب المشتق الاتجاهي: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

النتيجة:

  • المشتق الاتجاهي: 1/√2

التصور:

  • يظهر الرسم البياني سلوك الدالة على طول متجه الاتجاه من النقطة المعطاة.

فوائد استخدام الآلة الحاسبة

  • الكفاءة: تقوم بأتمتة التفاضيل اليدوية المملة والتقييمات.
  • الوضوح: تشرح العملية خطوة بخطوة، مما يجعلها مثالية للتعلم أو التحقق.
  • المرونة: تتعامل مع الدوال ذات المتغيرين أو الثلاثة وتحسب المشتقات في أي اتجاه.

متى تستخدم آلة حاسبة للمشتق الاتجاهي

  • الرياضيات والفيزياء: تحليل التدرجات ومعدلات التغير في الدوال متعددة المتغيرات.
  • تعلم الآلة والذكاء الاصطناعي: تقييم سلوك دالة التكلفة على طول اتجاهات التدرج.
  • الهندسة والتحسين: تقييم التغيرات في الدوال الخاضعة لقيود أو اتجاهات معينة.

المخرجات الرسومية

  • يتم إنشاء رسم بياني لعرض سلوك الدالة على طول متجه الاتجاه.
  • يمثل المحور السيني t، المسافة على طول متجه الاتجاه.
  • يمثل المحور الصادي f(t)، قيمة الدالة على طول تلك المسافة.